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Resolución de integrales/ log(x)/ log(x)/x^2

Integral de log(x)/x^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1          
  /          
 |           
 |  log(x)   
 |  ------ dx
 |     2     
 |    x      
 |           
/            
0
∫01log⁡(x)x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx 
Integral(log(x)/x^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫ue−u du\int u e^{- u}\, du

      1. que u=−uu = - u.

        Luego que du=−dudu = - du y ponemos dudu:

        ∫ueu du\int u e^{u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de la función exponencial es la mesma.

          ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −ue−u−e−u- u e^{- u} - e^{- u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(x)x−1x- \frac{\log{\left(x \right)}}{x} - \frac{1}{x}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−1x2) dx=−∫1x2 dx\int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

      Por lo tanto, el resultado es: 1x\frac{1}{x}

  2. Ahora simplificar:

    −log⁡(x)+1x- \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(x)+1x+constant- \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(x)+1x+constant- \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                          
 |                           
 | log(x)          1   log(x)
 | ------ dx = C - - - ------
 |    2            x     x   
 |   x                       
 |                           
/
∫log⁡(x)x2 dx=C−log⁡(x)x−1x\int \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx = C - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} - \frac{1}{x}
Simplificar
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-5.93814806236544e+20
-5.93814806236544e+20

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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