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Resolución de integrales/ sin(x/4)/ Xsin(x/4)

Integral de Xsin(x/4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi           
   /            
  |             
  |       /x\   
  |  x*sin|-| dx
  |       \4/   
  |             
 /              
 0
∫02πxsin⁡(x4) dx\int\limits_{0}^{2 \pi} x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx 
Integral(x*sin(x/4), (x, 0, 2*pi))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}.

    Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

      Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

      ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−4cos⁡(x4)) dx=−4∫cos⁡(x4) dx\int \left(- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

    1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

      Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

      ∫4cos⁡(u) du\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)4 \sin{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      4sin⁡(x4)4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: −16sin⁡(x4)- 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −4xcos⁡(x4)+16sin⁡(x4)+constant- 4 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−4xcos⁡(x4)+16sin⁡(x4)+constant- 4 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                        
 |                                         
 |      /x\                /x\          /x\
 | x*sin|-| dx = C + 16*sin|-| - 4*x*cos|-|
 |      \4/                \4/          \4/
 |                                         
/
∫xsin⁡(x4) dx=C−4xcos⁡(x4)+16sin⁡(x4)\int x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = C - 4 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.0020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
16
1616 
=
= 
16
1616 
16
Respuesta numérica [src] 
16.0
16.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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