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Resolución de integrales/ 2x^3-x^2-12x-2/(x(x-1)(x-2))

Integral de 2x^3-x^2-12x-2/(x(x-1)(x-2)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                          
  /                                          
 |                                           
 |  /   3    2                  2        \   
 |  |2*x  - x  - 12*x - -----------------| dx
 |  \                   x*(x - 1)*(x - 2)/   
 |                                           
/                                            
0
∫01((−12x+(2x3−x2))−2x(x−1)(x−2)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(- 12 x + \left(2 x^{3} - x^{2}\right)\right) - \frac{2}{x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)}\right)\, dx 
Integral(2*x^3 - x^2 - 12*x - 2*1/(x*(x - 1)*(x - 2)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12x) dx=−12∫x dx\int \left(- 12 x\right)\, dx = - 12 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −6x2- 6 x^{2}

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2x3 dx=2∫x3 dx\int 2 x^{3}\, dx = 2 \int x^{3}\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: x42\frac{x^{4}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−x2) dx=−∫x2 dx\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −x33- \frac{x^{3}}{3}

        El resultado es: x42−x33\frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3}

      El resultado es: x42−x33−6x2\frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - 6 x^{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2x(x−1)(x−2)) dx=−2∫1x(x−1)(x−2) dx\int \left(- \frac{2}{x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)}\, dx

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          1x(x−1)(x−2)=−1x−1+12(x−2)+12x\frac{1}{x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)} = - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2 \left(x - 2\right)} + \frac{1}{2 x}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1x−1) dx=−∫1x−1 dx\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx

            1. que u=x−1u = x - 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−1)- \log{\left(x - 1 \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12(x−2) dx=∫1x−2 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{2}

            1. que u=x−2u = x - 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−2)2\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12x dx=∫1x dx2\int \frac{1}{2 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{2}

            1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)2\frac{\log{\left(x \right)}}{2}

          El resultado es: log⁡(x)2+log⁡(x−2)2−log⁡(x−1)\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2} - \log{\left(x - 1 \right)}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          1x(x−1)(x−2)=1x3−3x2+2x\frac{1}{x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)} = \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 2 x}

        2. Vuelva a escribir el integrando:

          1x3−3x2+2x=−1x−1+12(x−2)+12x\frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 2 x} = - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2 \left(x - 2\right)} + \frac{1}{2 x}

        3. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1x−1) dx=−∫1x−1 dx\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx

            1. que u=x−1u = x - 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−1)- \log{\left(x - 1 \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12(x−2) dx=∫1x−2 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{2}

            1. que u=x−2u = x - 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−2)2\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12x dx=∫1x dx2\int \frac{1}{2 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{2}

            1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)2\frac{\log{\left(x \right)}}{2}

          El resultado es: log⁡(x)2+log⁡(x−2)2−log⁡(x−1)\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2} - \log{\left(x - 1 \right)}

        Método #3

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          1x(x−1)(x−2)=1x3−3x2+2x\frac{1}{x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)} = \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 2 x}

        2. Vuelva a escribir el integrando:

          1x3−3x2+2x=−1x−1+12(x−2)+12x\frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} + 2 x} = - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2 \left(x - 2\right)} + \frac{1}{2 x}

        3. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1x−1) dx=−∫1x−1 dx\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx

            1. que u=x−1u = x - 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−1)- \log{\left(x - 1 \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12(x−2) dx=∫1x−2 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{2}

            1. que u=x−2u = x - 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−2)2\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12x dx=∫1x dx2\int \frac{1}{2 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{2}

            1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)2\frac{\log{\left(x \right)}}{2}

          El resultado es: log⁡(x)2+log⁡(x−2)2−log⁡(x−1)\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2} - \log{\left(x - 1 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x)−log⁡(x−2)+2log⁡(x−1)- \log{\left(x \right)} - \log{\left(x - 2 \right)} + 2 \log{\left(x - 1 \right)}

    El resultado es: x42−x33−6x2−log⁡(x)−log⁡(x−2)+2log⁡(x−1)\frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - 6 x^{2} - \log{\left(x \right)} - \log{\left(x - 2 \right)} + 2 \log{\left(x - 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x42−x33−6x2−log⁡(x)−log⁡(x−2)+2log⁡(x−1)+constant\frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - 6 x^{2} - \log{\left(x \right)} - \log{\left(x - 2 \right)} + 2 \log{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x42−x33−6x2−log⁡(x)−log⁡(x−2)+2log⁡(x−1)+constant\frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - 6 x^{2} - \log{\left(x \right)} - \log{\left(x - 2 \right)} + 2 \log{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                     
 |                                                  4                                                  3
 | /   3    2                  2        \          x                              2                   x 
 | |2*x  - x  - 12*x - -----------------| dx = C + -- - log(x) - log(-2 + x) - 6*x  + 2*log(-1 + x) - --
 | \                   x*(x - 1)*(x - 2)/          2                                                  3 
 |                                                                                                      
/
∫((−12x+(2x3−x2))−2x(x−1)(x−2)) dx=C+x42−x33−6x2−log⁡(x)−log⁡(x−2)+2log⁡(x−1)\int \left(\left(- 12 x + \left(2 x^{3} - x^{2}\right)\right) - \frac{2}{x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right)}\right)\, dx = C + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - 6 x^{2} - \log{\left(x \right)} - \log{\left(x - 2 \right)} + 2 \log{\left(x - 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-4000020000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-137.412545859205
-137.412545859205

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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