Integral de 4cos2x-3sinx dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $3 \cos{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4 \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx$

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(2 x \right)}$

   El resultado es: $2 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(4 \sin{\left(x \right)} + 3\right) \cos{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(4 \sin{\left(x \right)} + 3\right) \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(4 \sin{\left(x \right)} + 3\right) \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$