Integral de (x^3-1)/(x^4-4x+5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(x^{4} - 4 x\right) + 5$.

      Luego que $du = \left(4 x^{3} - 4\right) dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{4 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(\left(x^{4} - 4 x\right) + 5 \right)}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} - 1}{\left(x^{4} - 4 x\right) + 5} = \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} + x + 1\right)}{x^{4} - 4 x + 5}$

   2. que $u = x^{4} - 4 x + 5$.

      Luego que $du = \left(4 x^{3} - 4\right) dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{4 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x^{4} - 4 x + 5 \right)}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(x^{4} - 4 x + 5 \right)}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(x^{4} - 4 x + 5 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x^{4} - 4 x + 5 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$