Integral de cos(5*x)*cos(12*x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\cos{\left(5 x \right)} \cos{\left(12 x \right)} = 32768 \cos^{17}{\left(x \right)} - 139264 \cos^{15}{\left(x \right)} + 243712 \cos^{13}{\left(x \right)} - 226304 \cos^{11}{\left(x \right)} + 119680 \cos^{9}{\left(x \right)} - 35872 \cos^{7}{\left(x \right)} + 5656 \cos^{5}{\left(x \right)} - 380 \cos^{3}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 32768 \cos^{17}{\left(x \right)}\, dx = 32768 \int \cos^{17}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{17}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{8} \cos{\left(x \right)}$

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{8} \cos{\left(x \right)} = \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 8 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 28 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 56 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 70 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 56 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 28 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{16}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{17}{\left(x \right)}}{17}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 8 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \int \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{14}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{15}{\left(x \right)}}{15}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 \sin^{15}{\left(x \right)}}{15}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 28 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 28 \int \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{12}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{28 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 56 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 56 \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{10}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{56 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 70 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 70 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{8}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{70 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 56 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 56 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \sin^{7}{\left(x \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 28 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 28 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{28 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $\frac{\sin^{17}{\left(x \right)}}{17} - \frac{8 \sin^{15}{\left(x \right)}}{15} + \frac{28 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} - \frac{56 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{70 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - 8 \sin^{7}{\left(x \right)} + \frac{28 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{8 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{8} \cos{\left(x \right)} = \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 8 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 28 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 56 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 70 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 56 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 28 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{16}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{17}{\left(x \right)}}{17}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 8 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \int \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{14}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{15}{\left(x \right)}}{15}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 \sin^{15}{\left(x \right)}}{15}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 28 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 28 \int \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{12}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{28 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 56 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 56 \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{10}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{56 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 70 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 70 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{8}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{70 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 56 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 56 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \sin^{7}{\left(x \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 28 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 28 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{28 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            El resultado es: $\frac{\sin^{17}{\left(x \right)}}{17} - \frac{8 \sin^{15}{\left(x \right)}}{15} + \frac{28 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} - \frac{56 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{70 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - 8 \sin^{7}{\left(x \right)} + \frac{28 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{8 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32768 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17} - \frac{262144 \sin^{15}{\left(x \right)}}{15} + \frac{917504 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} - \frac{1835008 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{2293760 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - 262144 \sin^{7}{\left(x \right)} + \frac{917504 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{262144 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 32768 \sin{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 139264 \cos^{15}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 139264 \int \cos^{15}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{15}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{7} \cos{\left(x \right)}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{7} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 7 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 21 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 35 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 35 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 21 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 7 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      3. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{14}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{15}{\left(x \right)}}{15}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{15}{\left(x \right)}}{15}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 7 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 7 \int \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{12}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 21 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 21 \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{10}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{21 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 35 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 35 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{8}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{35 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 35 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 35 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \sin^{7}{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 21 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 21 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{21 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 7 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 7 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         El resultado es: $- \frac{\sin^{15}{\left(x \right)}}{15} + \frac{7 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} - \frac{21 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{35 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - 5 \sin^{7}{\left(x \right)} + \frac{21 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{7 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{139264 \sin^{15}{\left(x \right)}}{15} - \frac{974848 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{2924544 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{4874240 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} + 696320 \sin^{7}{\left(x \right)} - \frac{2924544 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{974848 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 139264 \sin{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 243712 \cos^{13}{\left(x \right)}\, dx = 243712 \int \cos^{13}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{13}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{6} \cos{\left(x \right)}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{6} \cos{\left(x \right)} = \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 6 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 15 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 20 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 15 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 6 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      3. Integramos término a término:

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{12}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{10}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 15 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 15 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{8}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 20 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 20 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{20 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 15 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 15 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 \sin^{5}{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sin^{3}{\left(x \right)}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13} - \frac{6 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{5 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{20 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 3 \sin^{5}{\left(x \right)} - 2 \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{243712 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} - \frac{1462272 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{1218560 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - 696320 \sin^{7}{\left(x \right)} + 731136 \sin^{5}{\left(x \right)} - 487424 \sin^{3}{\left(x \right)} + 243712 \sin{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 226304 \cos^{11}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 226304 \int \cos^{11}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{11}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{5} \cos{\left(x \right)}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{5} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 5 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 10 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 10 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 5 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      3. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{10}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{8}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 10 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 10 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 10 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin^{5}{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 5 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 5 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         El resultado es: $- \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{5 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{10 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 2 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{5 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{226304 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{1131520 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{2263040 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - 452608 \sin^{5}{\left(x \right)} + \frac{1131520 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 226304 \sin{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 119680 \cos^{9}{\left(x \right)}\, dx = 119680 \int \cos^{9}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{9}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      3. Integramos término a término:

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{8}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{119680 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{478720 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 143616 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{478720 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 119680 \sin{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 35872 \cos^{7}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 35872 \int \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      3. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sin^{3}{\left(x \right)}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         El resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{35872 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{107616 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + 35872 \sin^{3}{\left(x \right)} - 35872 \sin{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 5656 \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = 5656 \int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      3. Integramos término a término:

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5656 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{11312 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 5656 \sin{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 380 \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 380 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

      2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

            El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{380 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 380 \sin{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 5 \cos{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $5 \sin{\left(x \right)}$

   El resultado es: $\frac{32768 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17} - 8192 \sin^{15}{\left(x \right)} + 14336 \sin^{13}{\left(x \right)} - 13312 \sin^{11}{\left(x \right)} + 7040 \sin^{9}{\left(x \right)} - \frac{14816 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 344 \sin^{5}{\left(x \right)} - 28 \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(229376 \sin^{16}{\left(x \right)} - 974848 \sin^{14}{\left(x \right)} + 1705984 \sin^{12}{\left(x \right)} - 1584128 \sin^{10}{\left(x \right)} + 837760 \sin^{8}{\left(x \right)} - 251872 \sin^{6}{\left(x \right)} + 40936 \sin^{4}{\left(x \right)} - 3332 \sin^{2}{\left(x \right)} + 119\right) \sin{\left(x \right)}}{119}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(229376 \sin^{16}{\left(x \right)} - 974848 \sin^{14}{\left(x \right)} + 1705984 \sin^{12}{\left(x \right)} - 1584128 \sin^{10}{\left(x \right)} + 837760 \sin^{8}{\left(x \right)} - 251872 \sin^{6}{\left(x \right)} + 40936 \sin^{4}{\left(x \right)} - 3332 \sin^{2}{\left(x \right)} + 119\right) \sin{\left(x \right)}}{119}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(229376 \sin^{16}{\left(x \right)} - 974848 \sin^{14}{\left(x \right)} + 1705984 \sin^{12}{\left(x \right)} - 1584128 \sin^{10}{\left(x \right)} + 837760 \sin^{8}{\left(x \right)} - 251872 \sin^{6}{\left(x \right)} + 40936 \sin^{4}{\left(x \right)} - 3332 \sin^{2}{\left(x \right)} + 119\right) \sin{\left(x \right)}}{119}+ \mathrm{constant}$