Integral de (x+1/x)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du = - \int \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 + \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            El resultado es: $u - \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u + \frac{2}{u} + \frac{1}{3 u^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{3}}{3} + 2 x - \frac{1}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + \frac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + 2 x - \frac{1}{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + \frac{1}{x}\right)^{2} = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 1}{x^{2}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{4} + 2 x^{2} + 1}{x^{2}} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}$

   3. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + 2 x - \frac{1}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3}}{3} + 2 x - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3}}{3} + 2 x - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$