Integral de y=(1-2x)^5-1/3 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 1 - 2 x$.

         Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{u^{5}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{5}\, du = - \frac{\int u^{5}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{12}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\left(1 - 2 x\right)^{6}}{12}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - 2 x\right)^{5} = - 32 x^{5} + 80 x^{4} - 80 x^{3} + 40 x^{2} - 10 x + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 32 x^{5}\right)\, dx = - 32 \int x^{5}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16 x^{6}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 80 x^{4}\, dx = 80 \int x^{4}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $16 x^{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 80 x^{3}\right)\, dx = - 80 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 20 x^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 40 x^{2}\, dx = 40 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{40 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 10 x\right)\, dx = - 10 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 5 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $- \frac{16 x^{6}}{3} + 16 x^{5} - 20 x^{4} + \frac{40 x^{3}}{3} - 5 x^{2} + x$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(- \frac{1}{3}\right)\, dx = - \frac{x}{3}$

   El resultado es: $- \frac{x}{3} - \frac{\left(1 - 2 x\right)^{6}}{12}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x}{3} - \frac{\left(2 x - 1\right)^{6}}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x}{3} - \frac{\left(2 x - 1\right)^{6}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x}{3} - \frac{\left(2 x - 1\right)^{6}}{12}+ \mathrm{constant}$