Integral de sqrt(x^2+1)-sqrt(3-x^2) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \sqrt{3 - x^{2}}\right)\, dx = - \int \sqrt{3 - x^{2}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(3)*sin(_theta), rewritten=3*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=3, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=3*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x < sqrt(3)) & (x > -sqrt(3)), context=sqrt(3 - x**2), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} \frac{x \sqrt{3 - x^{2}}}{2} + \frac{3 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}$

   1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      $\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2} + \frac{\operatorname{asinh}{\left(x \right)}}{2}$

   El resultado es: $\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2} - \begin{cases} \frac{x \sqrt{3 - x^{2}}}{2} + \frac{3 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases} + \frac{\operatorname{asinh}{\left(x \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{- x \sqrt{3 - x^{2}} + x \sqrt{x^{2} + 1} - 3 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} + \operatorname{asinh}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{- x \sqrt{3 - x^{2}} + x \sqrt{x^{2} + 1} - 3 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} + \operatorname{asinh}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{- x \sqrt{3 - x^{2}} + x \sqrt{x^{2} + 1} - 3 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} + \operatorname{asinh}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}+ \mathrm{constant}$