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Resolución de integrales/ 3-x^2/ x^2+1/ sqrt(x^2+1)-sqrt(3-x^2)

Integral de sqrt(x^2+1)-sqrt(3-x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2                               
  /                               
 |                                
 |  /   ________      ________\   
 |  |  /  2          /      2 |   
 |  \\/  x  + 1  - \/  3 - x  / dx
 |                                
/                                 
-2
$$\int\limits_{-2}^{2} \left(- \sqrt{3 - x^{2}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\, dx$$ 
Integral(sqrt(x^2 + 1) - sqrt(3 - x^2), (x, -2, 2))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(3)*sin(_theta), rewritten=3*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=3, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=3*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x < sqrt(3)) & (x > -sqrt(3)), context=sqrt(3 - x**2), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es:

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

    El resultado es:

  2. Ahora simplificar:

  3. Añadimos la constante de integración:

Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                  
 |                                                 //      /    ___\                                                \        ________
 | /   ________      ________\                     ||      |x*\/ 3 |        ________                                |       /      2 
 | |  /  2          /      2 |          asinh(x)   ||3*asin|-------|       /      2                                 |   x*\/  1 + x  
 | \\/  x  + 1  - \/  3 - x  / dx = C + -------- - |<      \   3   /   x*\/  3 - x           /       ___        ___\| + -------------
 |                                         2       ||--------------- + -------------  for And\x > -\/ 3 , x < \/ 3 /|         2      
/                                                  ||       2                2                                      |                
                                                   \\                                                               /
$$\int \left(- \sqrt{3 - x^{2}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\, dx = C + \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2} - \begin{cases} \frac{x \sqrt{3 - x^{2}}}{2} + \frac{3 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases} + \frac{\operatorname{asinh}{\left(x \right)}}{2}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
        /    ___\                           
        |2*\/ 3 |             ___           
- 3*asin|-------| - 2*I + 2*\/ 5  + asinh(2)
        \   3   /
$$\operatorname{asinh}{\left(2 \right)} + 2 \sqrt{5} - 2 i - 3 \operatorname{asin}{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)}$$ 
=
= 
        /    ___\                           
        |2*\/ 3 |             ___           
- 3*asin|-------| - 2*I + 2*\/ 5  + asinh(2)
        \   3   /
$$\operatorname{asinh}{\left(2 \right)} + 2 \sqrt{5} - 2 i - 3 \operatorname{asin}{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)}$$ 
-3*asin(2*sqrt(3)/3) - 2*i + 2*sqrt(5) + asinh(2)
Respuesta numérica [src] 
(1.20391073745362 - 0.352715100959253j)
(1.20391073745362 - 0.352715100959253j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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