Integral de x^3/(4x^2+9)^(3/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3}}{\left(4 x^{2} + 9\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x^{3}}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + 9} + 9 \sqrt{4 x^{2} + 9}}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{8 u \sqrt{4 u + 9} + 18 \sqrt{4 u + 9}}\, du$

      1. que $u = \sqrt{4 u + 9}$.

         Luego que $du = \frac{2 du}{\sqrt{4 u + 9}}$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\frac{u^{2}}{4} - \frac{9}{4}}{4 u^{2}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\frac{u^{2}}{4} - \frac{9}{4}}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{\frac{u^{2}}{4} - \frac{9}{4}}{u^{2}}\, du}{4}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{\frac{u^{2}}{4} - \frac{9}{4}}{u^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{9}{4 u^{2}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{9}{4 u^{2}}\right)\, du = - \frac{9 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{4}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9}{4 u}$

               El resultado es: $\frac{u}{4} + \frac{9}{4 u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{16} + \frac{9}{16 u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sqrt{4 u + 9}}{16} + \frac{9}{16 \sqrt{4 u + 9}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{4 x^{2} + 9}}{16} + \frac{9}{16 \sqrt{4 x^{2} + 9}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3}}{\left(4 x^{2} + 9\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x^{3}}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + 9} + 9 \sqrt{4 x^{2} + 9}}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{8 u \sqrt{4 u + 9} + 18 \sqrt{4 u + 9}}\, du$

      1. que $u = \sqrt{4 u + 9}$.

         Luego que $du = \frac{2 du}{\sqrt{4 u + 9}}$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\frac{u^{2}}{4} - \frac{9}{4}}{4 u^{2}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\frac{u^{2}}{4} - \frac{9}{4}}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{\frac{u^{2}}{4} - \frac{9}{4}}{u^{2}}\, du}{4}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{\frac{u^{2}}{4} - \frac{9}{4}}{u^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{9}{4 u^{2}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{9}{4 u^{2}}\right)\, du = - \frac{9 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{4}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9}{4 u}$

               El resultado es: $\frac{u}{4} + \frac{9}{4 u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{16} + \frac{9}{16 u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sqrt{4 u + 9}}{16} + \frac{9}{16 \sqrt{4 u + 9}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{4 x^{2} + 9}}{16} + \frac{9}{16 \sqrt{4 x^{2} + 9}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 x^{2} + 9}{8 \sqrt{4 x^{2} + 9}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{2} + 9}{8 \sqrt{4 x^{2} + 9}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{2} + 9}{8 \sqrt{4 x^{2} + 9}}+ \mathrm{constant}$