Integral de (x+3)^20 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x + 3$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{20}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x + 3\right)^{21}}{21}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + 3\right)^{20} = x^{20} + 60 x^{19} + 1710 x^{18} + 30780 x^{17} + 392445 x^{16} + 3767472 x^{15} + 28256040 x^{14} + 169536240 x^{13} + 826489170 x^{12} + 3305956680 x^{11} + 10909657044 x^{10} + 29753610120 x^{9} + 66945622770 x^{8} + 123591918960 x^{7} + 185387878440 x^{6} + 222465454128 x^{5} + 208561363245 x^{4} + 147219785820 x^{3} + 73609892910 x^{2} + 23245229340 x + 3486784401$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 60 x^{19}\, dx = 60 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{20}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1710 x^{18}\, dx = 1710 \int x^{18}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Por lo tanto, el resultado es: $90 x^{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 30780 x^{17}\, dx = 30780 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1710 x^{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 392445 x^{16}\, dx = 392445 \int x^{16}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Por lo tanto, el resultado es: $23085 x^{17}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3767472 x^{15}\, dx = 3767472 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $235467 x^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 28256040 x^{14}\, dx = 28256040 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1883736 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 169536240 x^{13}\, dx = 169536240 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{84768120 x^{14}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 826489170 x^{12}\, dx = 826489170 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $63576090 x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3305956680 x^{11}\, dx = 3305956680 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $275496390 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 10909657044 x^{10}\, dx = 10909657044 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $991787004 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 29753610120 x^{9}\, dx = 29753610120 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2975361012 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 66945622770 x^{8}\, dx = 66945622770 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $7438402530 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 123591918960 x^{7}\, dx = 123591918960 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $15448989870 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 185387878440 x^{6}\, dx = 185387878440 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{185387878440 x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 222465454128 x^{5}\, dx = 222465454128 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $37077575688 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 208561363245 x^{4}\, dx = 208561363245 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $41712272649 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 147219785820 x^{3}\, dx = 147219785820 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $36804946455 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 73609892910 x^{2}\, dx = 73609892910 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $24536630970 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 23245229340 x\, dx = 23245229340 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $11622614670 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 3486784401\, dx = 3486784401 x$

      El resultado es: $\frac{x^{21}}{21} + 3 x^{20} + 90 x^{19} + 1710 x^{18} + 23085 x^{17} + 235467 x^{16} + 1883736 x^{15} + \frac{84768120 x^{14}}{7} + 63576090 x^{13} + 275496390 x^{12} + 991787004 x^{11} + 2975361012 x^{10} + 7438402530 x^{9} + 15448989870 x^{8} + \frac{185387878440 x^{7}}{7} + 37077575688 x^{6} + 41712272649 x^{5} + 36804946455 x^{4} + 24536630970 x^{3} + 11622614670 x^{2} + 3486784401 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x + 3\right)^{21}}{21}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x + 3\right)^{21}}{21}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 3\right)^{21}}{21}+ \mathrm{constant}$