Integral de tan⁵2xsec²2x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \tan{\left(2 x \right)}$.

      Luego que $du = \left(2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2\right) dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{5}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = \frac{\int u^{5}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\tan^{6}{\left(2 x \right)}}{12}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\tan^{5}{\left(2 x \right)} \sec^{2}{\left(2 x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(2 x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(2 x \right)} \sec^{2}{\left(2 x \right)}$

   2. que $u = \sec^{2}{\left(2 x \right)} - 1$.

      Luego que $du = 4 \tan{\left(2 x \right)} \sec^{2}{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u^{2}}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{4}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\sec^{2}{\left(2 x \right)} - 1\right)^{3}}{12}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\tan^{6}{\left(2 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\tan^{6}{\left(2 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$