Integral de loge(e^x) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}\, dx = \frac{\int \log{\left(e^{x} \right)}\, dx}{\log{\left(e^{1} \right)}}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = e^{x}$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{u}\, du$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = \frac{1}{u}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

                  1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                     Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                     $\int \left(- u\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int u\, du = - \int u\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(u \right)}^{2}}{2}$

            Método #2

            1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

               $\int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(u \right)}^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(e^{x} \right)}^{2}}{2}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(e^{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(e^{x} \right)}^{2}}{2 \log{\left(e^{1} \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(e^{x} \right)}^{2}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(e^{x} \right)}^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(e^{x} \right)}^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$