Integral de sin⁵4xcos²4xdx dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |     5         2        
 |  sin (4*x)*cos (4*x) dx
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0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{5}{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx$$

Integral(sin(4*x)^5*cos(4*x)^2, (x, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{5}{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(4 x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right)^{2} \sin{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(4 x \right)}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \cos{\left(4 x \right)}$ .
  
  Luego que $du = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(- \frac{u^{6}}{4} + \frac{u^{4}}{2} - \frac{u^{2}}{4}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u^{6}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{6}\, du}{4}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{28}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{u^{4}}{2}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{10}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{4}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{12}$
    El resultado es: $- \frac{u^{7}}{28} + \frac{u^{5}}{10} - \frac{u^{3}}{12}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{\cos^{7}{\left(4 x \right)}}{28} + \frac{\cos^{5}{\left(4 x \right)}}{10} - \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{12}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right)^{2} \sin{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(4 x \right)} = \sin{\left(4 x \right)} \cos^{6}{\left(4 x \right)} - 2 \sin{\left(4 x \right)} \cos^{4}{\left(4 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(4 x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \cos{\left(4 x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$ :
    
    $\int \left(- \frac{u^{6}}{4}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{6}\, du = - \frac{\int u^{6}\, du}{4}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{28}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{7}{\left(4 x \right)}}{28}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \sin{\left(4 x \right)} \cos^{4}{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(4 x \right)} \cos^{4}{\left(4 x \right)}\, dx$
    1. que $u = \cos{\left(4 x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$ :
      
      $\int \left(- \frac{u^{4}}{4}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{4}\, du = - \frac{\int u^{4}\, du}{4}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{20}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(4 x \right)}}{20}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{5}{\left(4 x \right)}}{10}$
  1. que $u = \cos{\left(4 x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$ :
    
    $\int \left(- \frac{u^{2}}{4}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{4}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{12}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{12}$
  El resultado es: $- \frac{\cos^{7}{\left(4 x \right)}}{28} + \frac{\cos^{5}{\left(4 x \right)}}{10} - \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{12}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right)^{2} \sin{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(4 x \right)} = \sin{\left(4 x \right)} \cos^{6}{\left(4 x \right)} - 2 \sin{\left(4 x \right)} \cos^{4}{\left(4 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(4 x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \cos{\left(4 x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$ :
    
    $\int \left(- \frac{u^{6}}{4}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{6}\, du = - \frac{\int u^{6}\, du}{4}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{28}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{7}{\left(4 x \right)}}{28}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \sin{\left(4 x \right)} \cos^{4}{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(4 x \right)} \cos^{4}{\left(4 x \right)}\, dx$
    1. que $u = \cos{\left(4 x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$ :
      
      $\int \left(- \frac{u^{4}}{4}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{4}\, du = - \frac{\int u^{4}\, du}{4}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{20}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(4 x \right)}}{20}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{5}{\left(4 x \right)}}{10}$
  1. que $u = \cos{\left(4 x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$ :
    
    $\int \left(- \frac{u^{2}}{4}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{4}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{12}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{12}$
  El resultado es: $- \frac{\cos^{7}{\left(4 x \right)}}{28} + \frac{\cos^{5}{\left(4 x \right)}}{10} - \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{12}$
Añadimos la constante de integración:

$- \frac{\cos^{7}{\left(4 x \right)}}{28} + \frac{\cos^{5}{\left(4 x \right)}}{10} - \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cos^{7}{\left(4 x \right)}}{28} + \frac{\cos^{5}{\left(4 x \right)}}{10} - \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

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 |                                 3           7           5     
 |    5         2               cos (4*x)   cos (4*x)   cos (4*x)
 | sin (4*x)*cos (4*x) dx = C - --------- - --------- + ---------
 |                                  12          28          10   
/

$$\int \sin^{5}{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx = C - \frac{\cos^{7}{\left(4 x \right)}}{28} + \frac{\cos^{5}{\left(4 x \right)}}{10} - \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{12}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

         3         7         5   
 2    cos (4)   cos (4)   cos (4)
--- - ------- - ------- + -------
105      12        28        10

$$\frac{\cos^{5}{\left(4 \right)}}{10} - \frac{\cos^{7}{\left(4 \right)}}{28} + \frac{2}{105} - \frac{\cos^{3}{\left(4 \right)}}{12}$$

         3         7         5   
 2    cos (4)   cos (4)   cos (4)
--- - ------- - ------- + -------
105      12        28        10

$$\frac{\cos^{5}{\left(4 \right)}}{10} - \frac{\cos^{7}{\left(4 \right)}}{28} + \frac{2}{105} - \frac{\cos^{3}{\left(4 \right)}}{12}$$

2/105 - cos(4)^3/12 - cos(4)^7/28 + cos(4)^5/10

Respuesta numérica [src]

0.0322089386267376

0.0322089386267376

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Integral de sin⁵4xcos²4xdx dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3