Integral de (x^3+2)^2*3*x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3} + 2$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{2}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{3} + 2\right)^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \cdot 3 \left(x^{3} + 2\right)^{2} = 3 x^{8} + 12 x^{5} + 12 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{8}\, dx = 3 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{9}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12 x^{5}\, dx = 12 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12 x^{2}\, dx = 12 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{9}}{3} + 2 x^{6} + 4 x^{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{3} + 2\right)^{3}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{3} + 2\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{3} + 2\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$