Integral de (3x−2)(3−x+2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(3 u^{2} + 17 u + 10\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{2}\, du = 3 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 17 u\, du = 17 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{17 u^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 10\, du = 10 u$

         El resultado es: $u^{3} + \frac{17 u^{2}}{2} + 10 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x^{3} + \frac{17 x^{2}}{2} - 10 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 x - 2\right) \left(\left(3 - x\right) + 2\right) = - 3 x^{2} + 17 x - 10$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x^{2}\right)\, dx = - 3 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 17 x\, dx = 17 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{17 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-10\right)\, dx = - 10 x$

      El resultado es: $- x^{3} + \frac{17 x^{2}}{2} - 10 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(- 2 x^{2} + 17 x - 20\right)}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(- 2 x^{2} + 17 x - 20\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(- 2 x^{2} + 17 x - 20\right)}{2}+ \mathrm{constant}$