Integral de (3-x^2)^(3/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} = - x^{2} \sqrt{3 - x^{2}} + 3 \sqrt{3 - x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2} \sqrt{3 - x^{2}}\right)\, dx = - \int x^{2} \sqrt{3 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(3)*sin(_theta), rewritten=9/8 - 9*cos(4*_theta)/8, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=9/8, context=9/8, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-9/8, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=-9*cos(4*_theta)/8, symbol=_theta)], context=9/8 - 9*cos(4*_theta)/8, symbol=_theta), restriction=(x < sqrt(3)) & (x > -sqrt(3)), context=x**2*sqrt(3 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} - \frac{x \left(3 - 2 x^{2}\right) \sqrt{3 - x^{2}}}{8} + \frac{9 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{8} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \sqrt{3 - x^{2}}\, dx = 3 \int \sqrt{3 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(3)*sin(_theta), rewritten=3*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=3, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=3*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x < sqrt(3)) & (x > -sqrt(3)), context=sqrt(3 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{3 - x^{2}}}{2} + \frac{3 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}\right)$

      El resultado es: $3 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{3 - x^{2}}}{2} + \frac{3 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}\right) - \begin{cases} - \frac{x \left(3 - 2 x^{2}\right) \sqrt{3 - x^{2}}}{8} + \frac{9 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{8} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} = - x^{2} \sqrt{3 - x^{2}} + 3 \sqrt{3 - x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2} \sqrt{3 - x^{2}}\right)\, dx = - \int x^{2} \sqrt{3 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(3)*sin(_theta), rewritten=9/8 - 9*cos(4*_theta)/8, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=9/8, context=9/8, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-9/8, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=-9*cos(4*_theta)/8, symbol=_theta)], context=9/8 - 9*cos(4*_theta)/8, symbol=_theta), restriction=(x < sqrt(3)) & (x > -sqrt(3)), context=x**2*sqrt(3 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} - \frac{x \left(3 - 2 x^{2}\right) \sqrt{3 - x^{2}}}{8} + \frac{9 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{8} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \sqrt{3 - x^{2}}\, dx = 3 \int \sqrt{3 - x^{2}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(3)*sin(_theta), rewritten=3*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=3, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=3*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x < sqrt(3)) & (x > -sqrt(3)), context=sqrt(3 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{3 - x^{2}}}{2} + \frac{3 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}\right)$

      El resultado es: $3 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{3 - x^{2}}}{2} + \frac{3 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{2} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}\right) - \begin{cases} - \frac{x \left(3 - 2 x^{2}\right) \sqrt{3 - x^{2}}}{8} + \frac{9 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{8} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{- 2 x^{3} \sqrt{3 - x^{2}} + 15 x \sqrt{3 - x^{2}} + 27 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{8} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{- 2 x^{3} \sqrt{3 - x^{2}} + 15 x \sqrt{3 - x^{2}} + 27 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{8} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{- 2 x^{3} \sqrt{3 - x^{2}} + 15 x \sqrt{3 - x^{2}} + 27 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{8} & \text{for}\: x > - \sqrt{3} \wedge x < \sqrt{3} \end{cases}+ \mathrm{constant}$