Integral de (x-2)^3/x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{x^{2}} = x - 6 + \frac{12}{x} - \frac{8}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-6\right)\, dx = - 6 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{12}{x}\, dx = 12 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $12 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{8}{x^{2}}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8}{x}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - 6 x + 12 \log{\left(x \right)} + \frac{8}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{x^{2}} = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x^{2}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x^{2}} = x - 6 + \frac{12}{x} - \frac{8}{x^{2}}$

   3. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-6\right)\, dx = - 6 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{12}{x}\, dx = 12 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $12 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{8}{x^{2}}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8}{x}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - 6 x + 12 \log{\left(x \right)} + \frac{8}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2}}{2} - 6 x + 12 \log{\left(x \right)} + \frac{8}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2}}{2} - 6 x + 12 \log{\left(x \right)} + \frac{8}{x}+ \mathrm{constant}$