Integral de e^(2x-1)/((2x-1)^1/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x - 1$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{e^{u}}{2 \sqrt{u}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{u}}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{e^{u}}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

         UpperGammaRule(a=1, e=-1/2, context=exp(_u)/sqrt(_u), symbol=_u)

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{\pi} \sqrt{- u} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- u} \right)}}{2 \sqrt{u}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{\pi} \sqrt{1 - 2 x} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{1 - 2 x} \right)}}{2 \sqrt{2 x - 1}}$

   Método #2

   1. que $u = \sqrt{2 x - 1}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x - 1}}$ y ponemos $\frac{du}{e}$:

      $\int \frac{e^{u^{2} + 1}}{e}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e^{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int e^{u^{2} + 1}\, du}{e}$

         ErfRule(a=1, b=0, c=1, context=exp(_u**2 + 1), symbol=_u)

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{2 x - 1} \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{\pi} \sqrt{1 - 2 x} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{1 - 2 x} \right)}}{2 \sqrt{2 x - 1}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{\pi} \sqrt{1 - 2 x} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{1 - 2 x} \right)}}{2 \sqrt{2 x - 1}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{\pi} \sqrt{1 - 2 x} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{1 - 2 x} \right)}}{2 \sqrt{2 x - 1}}+ \mathrm{constant}$