Integral de (x^10+5)*ln(10x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{10} + 5\right) \log{\left(10 x \right)} = x^{10} \log{\left(x \right)} + x^{10} \log{\left(10 \right)} + 5 \log{\left(x \right)} + 5 \log{\left(10 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{11 u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{11 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 11 u$.

               Luego que $du = 11 du$ y ponemos $\frac{du}{11}$:

               $\int \frac{e^{u}}{11}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{11}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{11 u}}{11}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{11 u}}{11}\, du = \frac{\int e^{11 u}\, du}{11}$

            1. que $u = 11 u$.

               Luego que $du = 11 du$ y ponemos $\frac{du}{11}$:

               $\int \frac{e^{u}}{11}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{11}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{11 u}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{11 u}}{121}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{11} \log{\left(x \right)}}{11} - \frac{x^{11}}{121}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int x^{10} \log{\left(10 \right)}\, dx = \log{\left(10 \right)} \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{11} \log{\left(10 \right)}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 \log{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 x \log{\left(x \right)} - 5 x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 5 \log{\left(10 \right)}\, dx = 5 x \log{\left(10 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{11} \log{\left(x \right)}}{11} - \frac{x^{11}}{121} + \frac{x^{11} \log{\left(10 \right)}}{11} + 5 x \log{\left(x \right)} - 5 x + 5 x \log{\left(10 \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(10 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{10} + 5$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 5\, dx = 5 x$

         El resultado es: $\frac{x^{11}}{11} + 5 x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\frac{x^{11}}{11} + 5 x}{x} = \frac{x^{10}}{11} + 5$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{10}}{11}\, dx = \frac{\int x^{10}\, dx}{11}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{11}}{121}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 5\, dx = 5 x$

      El resultado es: $\frac{x^{11}}{121} + 5 x$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{10} + 5\right) \log{\left(10 x \right)} = x^{10} \log{\left(x \right)} + x^{10} \log{\left(10 \right)} + 5 \log{\left(x \right)} + 5 \log{\left(10 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{11 u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{11 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 11 u$.

               Luego que $du = 11 du$ y ponemos $\frac{du}{11}$:

               $\int \frac{e^{u}}{11}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{11}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{11 u}}{11}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{11 u}}{11}\, du = \frac{\int e^{11 u}\, du}{11}$

            1. que $u = 11 u$.

               Luego que $du = 11 du$ y ponemos $\frac{du}{11}$:

               $\int \frac{e^{u}}{11}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{11}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{11 u}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{11 u}}{121}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{11} \log{\left(x \right)}}{11} - \frac{x^{11}}{121}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int x^{10} \log{\left(10 \right)}\, dx = \log{\left(10 \right)} \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{11} \log{\left(10 \right)}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 \log{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 x \log{\left(x \right)} - 5 x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 5 \log{\left(10 \right)}\, dx = 5 x \log{\left(10 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{11} \log{\left(x \right)}}{11} - \frac{x^{11}}{121} + \frac{x^{11} \log{\left(10 \right)}}{11} + 5 x \log{\left(x \right)} - 5 x + 5 x \log{\left(10 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(11 x^{10} \log{\left(x \right)} - x^{10} + x^{10} \log{\left(100000000000 \right)} + 605 \log{\left(x \right)} - 605 + \log{\left(100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 \right)}\right)}{121}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(11 x^{10} \log{\left(x \right)} - x^{10} + x^{10} \log{\left(100000000000 \right)} + 605 \log{\left(x \right)} - 605 + \log{\left(100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 \right)}\right)}{121}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(11 x^{10} \log{\left(x \right)} - x^{10} + x^{10} \log{\left(100000000000 \right)} + 605 \log{\left(x \right)} - 605 + \log{\left(100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 \right)}\right)}{121}+ \mathrm{constant}$