Integral de (4-y)^2 dy

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 - y$.

      Luego que $du = - dy$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(4 - y\right)^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 - y\right)^{2} = y^{2} - 8 y + 16$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 y\right)\, dy = - 8 \int y\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 y^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 16\, dy = 16 y$

      El resultado es: $\frac{y^{3}}{3} - 4 y^{2} + 16 y$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(y - 4\right)^{3}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(y - 4\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(y - 4\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$