Integral de ((1-2x)^2-sin5x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 1 - 2 x$.

         Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\left(1 - 2 x\right)^{3}}{6}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - 2 x\right)^{2} = 4 x^{2} - 4 x + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 x\right)\, dx = - 4 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3} - 2 x^{2} + x$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \sin{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(5 x \right)}\, dx$

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

   El resultado es: $- \frac{\left(1 - 2 x\right)^{3}}{6} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x - 1\right)^{3}}{6} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x - 1\right)^{3}}{6} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x - 1\right)^{3}}{6} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$