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Resolución de integrales/ x^2+2/ x/(x^2+2x+5)

Integral de x/(x^2+2x+5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |       x         
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  + 2*x + 5   
 |                 
/                  
0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5}\, dx$$ 
Integral(x/(x^2 + 2*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |      x         
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 2*x + 5   
 |                
/
Reescribimos la función subintegral
               /  2*x + 2   \                 
               |------------|       /-1 \     
               | 2          |       |---|     
     x         \x  + 2*x + 5/       \ 4 /     
------------ = -------------- + --------------
 2                   2                   2    
x  + 2*x + 5                    /  x   1\     
                                |- - - -|  + 1
                                \  2   2/
o
  /                 
 |                  
 |      x           
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  + 2*x + 5     
 |                  
/                   
  
                       /                 
                      |                  
  /                   |       1          
 |                    | -------------- dx
 |   2*x + 2          |          2       
 | ------------ dx    | /  x   1\        
 |  2                 | |- - - -|  + 1   
 | x  + 2*x + 5       | \  2   2/        
 |                    |                  
/                    /                   
------------------ - --------------------
        2                     4
En integral
  /               
 |                
 |   2*x + 2      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 2*x + 5   
 |                
/                 
------------------
        2
hacemos el cambio
     2      
u = x  + 2*x
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 5 + u                
 |                      
/             log(5 + u)
----------- = ----------
     2            2
hacemos cambio inverso
  /                                   
 |                                    
 |   2*x + 2                          
 | ------------ dx                    
 |  2                                 
 | x  + 2*x + 5                       
 |                      /     2      \
/                    log\5 + x  + 2*x/
------------------ = -----------------
        2                    2
En integral
   /                  
  |                   
  |       1           
- | -------------- dx 
  |          2        
  | /  x   1\         
  | |- - - -|  + 1    
  | \  2   2/         
  |                   
 /                    
----------------------
          4
hacemos el cambio
      1   x
v = - - - -
      2   2
entonces
integral =
   /                      
  |                       
  |   1                   
- | ------ dv             
  |      2                
  | 1 + v                 
  |                       
 /               -atan(v) 
-------------- = ---------
      4              4
hacemos cambio inverso
   /                                  
  |                                   
  |       1                           
- | -------------- dx                 
  |          2                        
  | /  x   1\                         
  | |- - - -|  + 1                    
  | \  2   2/                 /1   x\ 
  |                      -atan|- + -| 
 /                            \2   2/ 
---------------------- = -------------
          4                    2
La solución:
                            /1   x\
       /     2      \   atan|- + -|
    log\5 + x  + 2*x/       \2   2/
C + ----------------- - -----------
            2                2
Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                              /1   x\
 |                          /     2      \   atan|- + -|
 |      x                log\5 + x  + 2*x/       \2   2/
 | ------------ dx = C + ----------------- - -----------
 |  2                            2                2     
 | x  + 2*x + 5                                         
 |                                                      
/
$$\int \frac{x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} + 2 x + 5 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{2}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
atan(1/2)   log(8)   log(5)   pi
--------- + ------ - ------ - --
    2         2        2      8
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} - \frac{\pi}{8} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(8 \right)}}{2}$$ 
=
= 
atan(1/2)   log(8)   log(5)   pi
--------- + ------ - ------ - --
    2         2        2      8
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} - \frac{\pi}{8} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(8 \right)}}{2}$$ 
atan(1/2)/2 + log(8)/2 - log(5)/2 - pi/8
Respuesta numérica [src] 
0.0741265374245467
0.0741265374245467

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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