Integral de 5*(3^(5*x+1)) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 5 \cdot 3^{5 x + 1}\, dx = 5 \int 3^{5 x + 1}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 5 x + 1$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{3^{u}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{5}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{5 \log{\left(3 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3^{5 x + 1}}{5 \log{\left(3 \right)}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $3^{5 x + 1} = 3 \cdot 3^{5 x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \cdot 3^{5 x}\, dx = 3 \int 3^{5 x}\, dx$

         1. que $u = 5 x$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{3^{u}}{5}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{5}$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{5 \log{\left(3 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3^{5 x}}{5 \log{\left(3 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \cdot 3^{5 x}}{5 \log{\left(3 \right)}}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $3^{5 x + 1} = 3 \cdot 3^{5 x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \cdot 3^{5 x}\, dx = 3 \int 3^{5 x}\, dx$

         1. que $u = 5 x$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{3^{u}}{5}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{5}$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{5 \log{\left(3 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3^{5 x}}{5 \log{\left(3 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \cdot 3^{5 x}}{5 \log{\left(3 \right)}}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{5 x + 1}}{\log{\left(3 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3^{5 x + 1}}{\log{\left(3 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3^{5 x + 1}}{\log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3^{5 x + 1}}{\log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$