Integral de x^3(x^4+1)^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{4} + 1$.

      Luego que $du = 4 x^{3} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u^{5}}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = \frac{\int u^{5}\, du}{4}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{24}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{4} + 1\right)^{6}}{24}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{3} \left(x^{4} + 1\right)^{5} = x^{23} + 5 x^{19} + 10 x^{15} + 10 x^{11} + 5 x^{7} + x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x^{19}\, dx = 5 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{20}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 10 x^{15}\, dx = 10 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{16}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 10 x^{11}\, dx = 10 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{12}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x^{7}\, dx = 5 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{8}}{8}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      El resultado es: $\frac{x^{24}}{24} + \frac{x^{20}}{4} + \frac{5 x^{16}}{8} + \frac{5 x^{12}}{6} + \frac{5 x^{8}}{8} + \frac{x^{4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{4} + 1\right)^{6}}{24}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{4} + 1\right)^{6}}{24}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{4} + 1\right)^{6}}{24}+ \mathrm{constant}$