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Resolución de integrales/ 2^(-x)/ 1-2^(-x)-2^(-y)+2^(-x-y)

Integral de 1-2^(-x)-2^(-y)+2^(-x-y) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                             
  /                             
 |                              
 |  /     -x    -y    -x - y\   
 |  \1 - 2   - 2   + 2      / dx
 |                              
/                               
0
∫01(2−x−y+((1−2−x)−2−y)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(2^{- x - y} + \left(\left(1 - 2^{- x}\right) - 2^{- y}\right)\right)\, dx 
Integral(1 - 2^(-x) - 2^(-y) + 2^(-x - y), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=−x−yu = - x - y.

        Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

        ∫(−2u) du\int \left(- 2^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2u du=−∫2u du\int 2^{u}\, du = - \int 2^{u}\, du

          1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            ∫2u du=2ulog⁡(2)\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}

          Por lo tanto, el resultado es: −2ulog⁡(2)- \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2−x−ylog⁡(2)- \frac{2^{- x - y}}{\log{\left(2 \right)}}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        2−x−y=2−x2−y2^{- x - y} = 2^{- x} 2^{- y}

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2−x2−y dx=2−y∫2−x dx\int 2^{- x} 2^{- y}\, dx = 2^{- y} \int 2^{- x}\, dx

        1. que u=−xu = - x.

          Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

          ∫(−2u) du\int \left(- 2^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2u du=−∫2u du\int 2^{u}\, du = - \int 2^{u}\, du

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

              ∫2u du=2ulog⁡(2)\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}

            Por lo tanto, el resultado es: −2ulog⁡(2)- \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2−xlog⁡(2)- \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: −2−x2−ylog⁡(2)- \frac{2^{- x} 2^{- y}}{\log{\left(2 \right)}}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        2−x−y=2−x2−y2^{- x - y} = 2^{- x} 2^{- y}

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2−x2−y dx=2−y∫2−x dx\int 2^{- x} 2^{- y}\, dx = 2^{- y} \int 2^{- x}\, dx

        1. que u=−xu = - x.

          Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

          ∫(−2u) du\int \left(- 2^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2u du=−∫2u du\int 2^{u}\, du = - \int 2^{u}\, du

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

              ∫2u du=2ulog⁡(2)\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}

            Por lo tanto, el resultado es: −2ulog⁡(2)- \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2−xlog⁡(2)- \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: −2−x2−ylog⁡(2)- \frac{2^{- x} 2^{- y}}{\log{\left(2 \right)}}

    1. Integramos término a término:

      1. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2−x) dx=−∫2−x dx\int \left(- 2^{- x}\right)\, dx = - \int 2^{- x}\, dx

          1. que u=−xu = - x.

            Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

            ∫(−2u) du\int \left(- 2^{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2u du=−∫2u du\int 2^{u}\, du = - \int 2^{u}\, du

              1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                ∫2u du=2ulog⁡(2)\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}

              Por lo tanto, el resultado es: −2ulog⁡(2)- \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2−xlog⁡(2)- \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}

          Por lo tanto, el resultado es: 2−xlog⁡(2)\frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}

        El resultado es: x+2−xlog⁡(2)x + \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−2−y) dx=−2−yx\int \left(- 2^{- y}\right)\, dx = - 2^{- y} x

      El resultado es: x−2−yx+2−xlog⁡(2)x - 2^{- y} x + \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}

    El resultado es: −2−x−ylog⁡(2)+x−2−yx+2−xlog⁡(2)- \frac{2^{- x - y}}{\log{\left(2 \right)}} + x - 2^{- y} x + \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}

  2. Ahora simplificar:

    x−2−yx+2−xlog⁡(2)−2−x2−ylog⁡(2)x - 2^{- y} x + \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{2^{- x} 2^{- y}}{\log{\left(2 \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x−2−yx+2−xlog⁡(2)−2−x2−ylog⁡(2)+constantx - 2^{- y} x + \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{2^{- x} 2^{- y}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x−2−yx+2−xlog⁡(2)−2−x2−ylog⁡(2)+constantx - 2^{- y} x + \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{2^{- x} 2^{- y}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                               
 |                                          -x              -x - y
 | /     -x    -y    -x - y\               2          -y   2      
 | \1 - 2   - 2   + 2      / dx = C + x + ------ - x*2   - -------
 |                                        log(2)            log(2)
/
∫(2−x−y+((1−2−x)−2−y)) dx=−2−x−ylog⁡(2)+C+x−2−yx+2−xlog⁡(2)\int \left(2^{- x - y} + \left(\left(1 - 2^{- x}\right) - 2^{- y}\right)\right)\, dx = - \frac{2^{- x - y}}{\log{\left(2 \right)}} + C + x - 2^{- y} x + \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}
Simplificar
Respuesta [src] 
                /      y*log(2)\  -y*log(2)
 -y /      y\   \-1 + e        /*e         
2  *\-1 + 2 / - ---------------------------
                          2*log(2)
−(eylog⁡(2)−1)e−ylog⁡(2)2log⁡(2)+2−y(2y−1)- \frac{\left(e^{y \log{\left(2 \right)}} - 1\right) e^{- y \log{\left(2 \right)}}}{2 \log{\left(2 \right)}} + 2^{- y} \left(2^{y} - 1\right) 
=
= 
                /      y*log(2)\  -y*log(2)
 -y /      y\   \-1 + e        /*e         
2  *\-1 + 2 / - ---------------------------
                          2*log(2)
−(eylog⁡(2)−1)e−ylog⁡(2)2log⁡(2)+2−y(2y−1)- \frac{\left(e^{y \log{\left(2 \right)}} - 1\right) e^{- y \log{\left(2 \right)}}}{2 \log{\left(2 \right)}} + 2^{- y} \left(2^{y} - 1\right) 
2^(-y)*(-1 + 2^y) - (-1 + exp(y*log(2)))*exp(-y*log(2))/(2*log(2))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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