Integral de (x+sqrt(x)+sqrt3(x))/x^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u^{0.666666666666667} + 2 u^{2} + 2 u}{u^{7}}\, du$

      1. que $u = u^{0.666666666666667}$.

         Luego que $du = \frac{0.666666666666667 du}{u^{0.333333333333333}}$ y ponemos $1.0 du$:

         $\int \frac{1.0 \left(3.0 u + 3.0 u^{1.5} + 3.0 u^{3.0}\right)}{u^{10.0}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\text{True}$

         2. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1.0 \left(3.0 u^{1.5} + 3.0 u^{3.0} + 3.0 u\right)}{u^{10.0}} = \frac{3.0}{u^{9.0}} + \frac{3.0}{u^{8.5}} + \frac{3.0}{u^{7.0}}$

         3. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3.0}{u^{9.0}}\, du = 3.0 \int u^{-9.0}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{-9.0}\, du = - \frac{0.125}{u^{8.0}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{0.375}{u^{8.0}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3.0}{u^{8.5}}\, du = 3.0 \int u^{-8.5}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{-8.5}\, du = - \frac{0.133333333333333}{u^{7.5}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{0.4}{u^{7.5}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3.0}{u^{7.0}}\, du = 3.0 \int u^{-7.0}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{-7.0}\, du = - \frac{0.166666666666667}{u^{6.0}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{0.5}{u^{6.0}}$

            El resultado es: $- \frac{0.375}{u^{8.0}} - \frac{0.4}{u^{7.5}} - \frac{0.5}{u^{6.0}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{0.375}{u^{5.33333333333333}} - \frac{0.4}{u^{5.0}} - \frac{0.5}{u^{4.0}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{0.375}{x^{2.66666666666667}} - \frac{0.4}{x^{2.5}} - \frac{0.5}{x^{2.0}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{0.333333333333333} + \left(\sqrt{x} + x\right)}{x^{4}} = \frac{x^{0.333333333333333}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = x^{0.333333333333333}$.

         Luego que $du = \frac{0.333333333333333 dx}{x^{0.666666666666667}}$ y ponemos $3.0 du$:

         $\int \frac{3.0}{u^{9.0}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{-9.0}\, du = 3.0 \int u^{-9.0}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{-9.0}\, du = - \frac{0.125}{u^{8.0}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{0.375}{u^{8.0}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{0.375}{x^{2.66666666666667}}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}\, dx = - \frac{2}{5 x^{\frac{5}{2}}}$

      El resultado es: $- \frac{0.375}{x^{2.66666666666667}} - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{2}{5 x^{\frac{5}{2}}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{0.375}{x^{2.66666666666667}} - \frac{0.4}{x^{2.5}} - \frac{0.5}{x^{2.0}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{0.375}{x^{2.66666666666667}} - \frac{0.4}{x^{2.5}} - \frac{0.5}{x^{2.0}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{0.375}{x^{2.66666666666667}} - \frac{0.4}{x^{2.5}} - \frac{0.5}{x^{2.0}}+ \mathrm{constant}$