Integral de x^2/(x^3+1)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{\left(x^{3} + 1\right)^{4}} = \frac{x^{2}}{x^{12} + 4 x^{9} + 6 x^{6} + 4 x^{3} + 1}$

   2. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{3 u^{4} + 12 u^{3} + 18 u^{2} + 12 u + 3}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{3 u^{4} + 12 u^{3} + 18 u^{2} + 12 u + 3} = \frac{1}{3 \left(u + 1\right)^{4}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{3 \left(u + 1\right)^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 1\right)^{4}}\, du}{3}$

         1. que $u = u + 1$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{3 \left(u + 1\right)^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{9 \left(u + 1\right)^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{9 \left(x^{3} + 1\right)^{3}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{\left(x^{3} + 1\right)^{4}} = \frac{x^{2}}{x^{12} + 4 x^{9} + 6 x^{6} + 4 x^{3} + 1}$

   2. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{3 u^{4} + 12 u^{3} + 18 u^{2} + 12 u + 3}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{3 u^{4} + 12 u^{3} + 18 u^{2} + 12 u + 3} = \frac{1}{3 \left(u + 1\right)^{4}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{3 \left(u + 1\right)^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 1\right)^{4}}\, du}{3}$

         1. que $u = u + 1$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{3 \left(u + 1\right)^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{9 \left(u + 1\right)^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{9 \left(x^{3} + 1\right)^{3}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{9 \left(x^{3} + 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{9 \left(x^{3} + 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$