Integral de y^3(2y^2-3)dy dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = y^{2}$.

      Luego que $du = 2 y dy$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{2} - \frac{3 u}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{3 u}{2}\right)\, du = - \frac{3 \int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{2}}{4}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - \frac{3 u^{2}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{y^{6}}{3} - \frac{3 y^{4}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $y^{3} \left(2 y^{2} - 3\right) = 2 y^{5} - 3 y^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 y^{5}\, dy = 2 \int y^{5}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{5}\, dy = \frac{y^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{y^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 y^{3}\right)\, dy = - 3 \int y^{3}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{3}\, dy = \frac{y^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 y^{4}}{4}$

      El resultado es: $\frac{y^{6}}{3} - \frac{3 y^{4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{y^{4} \left(4 y^{2} - 9\right)}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{y^{4} \left(4 y^{2} - 9\right)}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{y^{4} \left(4 y^{2} - 9\right)}{12}+ \mathrm{constant}$