Integral de d(5+x)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{d \left(x + 5\right)}{x} = d + \frac{5 d}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int d\, dx = d x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 d}{x}\, dx = 5 d \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $5 d \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $d x + 5 d \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{d \left(x + 5\right)}{x} = \frac{d x + 5 d}{x}$

   2. que $u = d x$.

      Luego que $du = d dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{5 d + u}{u}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u + 5 d}{u} = 1 + \frac{5 d}{u}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{5 d}{u}\, du = 5 d \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $5 d \log{\left(u \right)}$

         El resultado es: $u + 5 d \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $d x + 5 d \log{\left(d x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $d \left(x + 5 \log{\left(x \right)}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $d \left(x + 5 \log{\left(x \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$d \left(x + 5 \log{\left(x \right)}\right)+ \mathrm{constant}$