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Resolución de integrales/ sin(t)/ -t^2sin(t)

Integral de -t^2sin(t) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  t              
  /              
 |               
 |    2          
 |  -t *sin(t) dt
 |               
/                
0
∫0t−t2sin⁡(t) dt\int\limits_{0}^{t} - t^{2} \sin{\left(t \right)}\, dt 
Integral((-t^2)*sin(t), (t, 0, t))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(t)=−t2u{\left(t \right)} = - t^{2} y que dv⁡(t)=sin⁡(t)\operatorname{dv}{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}.

    Entonces du⁡(t)=−2t\operatorname{du}{\left(t \right)} = - 2 t.

    Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

    1. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(t) dt=−cos⁡(t)\int \sin{\left(t \right)}\, dt = - \cos{\left(t \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(t)=2tu{\left(t \right)} = 2 t y que dv⁡(t)=cos⁡(t)\operatorname{dv}{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}.

    Entonces du⁡(t)=2\operatorname{du}{\left(t \right)} = 2.

    Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

    1. La integral del coseno es seno:

      ∫cos⁡(t) dt=sin⁡(t)\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫2sin⁡(t) dt=2∫sin⁡(t) dt\int 2 \sin{\left(t \right)}\, dt = 2 \int \sin{\left(t \right)}\, dt

    1. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(t) dt=−cos⁡(t)\int \sin{\left(t \right)}\, dt = - \cos{\left(t \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(t)- 2 \cos{\left(t \right)}

  4. Añadimos la constante de integración:

    t2cos⁡(t)−2tsin⁡(t)−2cos⁡(t)+constantt^{2} \cos{\left(t \right)} - 2 t \sin{\left(t \right)} - 2 \cos{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

t2cos⁡(t)−2tsin⁡(t)−2cos⁡(t)+constantt^{2} \cos{\left(t \right)} - 2 t \sin{\left(t \right)} - 2 \cos{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                     
 |                                                      
 |   2                             2                    
 | -t *sin(t) dt = C - 2*cos(t) + t *cos(t) - 2*t*sin(t)
 |                                                      
/
∫−t2sin⁡(t) dt=C+t2cos⁡(t)−2tsin⁡(t)−2cos⁡(t)\int - t^{2} \sin{\left(t \right)}\, dt = C + t^{2} \cos{\left(t \right)} - 2 t \sin{\left(t \right)} - 2 \cos{\left(t \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
                2                    
2 - 2*cos(t) + t *cos(t) - 2*t*sin(t)
t2cos⁡(t)−2tsin⁡(t)−2cos⁡(t)+2t^{2} \cos{\left(t \right)} - 2 t \sin{\left(t \right)} - 2 \cos{\left(t \right)} + 2 
=
= 
                2                    
2 - 2*cos(t) + t *cos(t) - 2*t*sin(t)
t2cos⁡(t)−2tsin⁡(t)−2cos⁡(t)+2t^{2} \cos{\left(t \right)} - 2 t \sin{\left(t \right)} - 2 \cos{\left(t \right)} + 2 
2 - 2*cos(t) + t^2*cos(t) - 2*t*sin(t)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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