Integral de (2x-1)^14 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x - 1$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{14}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{14}\, du = \frac{\int u^{14}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{15}}{30}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 x - 1\right)^{15}}{30}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x - 1\right)^{14} = 16384 x^{14} - 114688 x^{13} + 372736 x^{12} - 745472 x^{11} + 1025024 x^{10} - 1025024 x^{9} + 768768 x^{8} - 439296 x^{7} + 192192 x^{6} - 64064 x^{5} + 16016 x^{4} - 2912 x^{3} + 364 x^{2} - 28 x + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16384 x^{14}\, dx = 16384 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16384 x^{15}}{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 114688 x^{13}\right)\, dx = - 114688 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 8192 x^{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 372736 x^{12}\, dx = 372736 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $28672 x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 745472 x^{11}\right)\, dx = - 745472 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{186368 x^{12}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1025024 x^{10}\, dx = 1025024 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $93184 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1025024 x^{9}\right)\, dx = - 1025024 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{512512 x^{10}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 768768 x^{8}\, dx = 768768 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{256256 x^{9}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 439296 x^{7}\right)\, dx = - 439296 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 54912 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 192192 x^{6}\, dx = 192192 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $27456 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 64064 x^{5}\right)\, dx = - 64064 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{32032 x^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16016 x^{4}\, dx = 16016 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16016 x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2912 x^{3}\right)\, dx = - 2912 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 728 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 364 x^{2}\, dx = 364 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{364 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 28 x\right)\, dx = - 28 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 14 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $\frac{16384 x^{15}}{15} - 8192 x^{14} + 28672 x^{13} - \frac{186368 x^{12}}{3} + 93184 x^{11} - \frac{512512 x^{10}}{5} + \frac{256256 x^{9}}{3} - 54912 x^{8} + 27456 x^{7} - \frac{32032 x^{6}}{3} + \frac{16016 x^{5}}{5} - 728 x^{4} + \frac{364 x^{3}}{3} - 14 x^{2} + x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x - 1\right)^{15}}{30}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x - 1\right)^{15}}{30}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x - 1\right)^{15}}{30}+ \mathrm{constant}$