Integral de y^2+1-(1-y^2)^(1/2) dy

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \sqrt{1 - y^{2}}\right)\, dy = - \int \sqrt{1 - y^{2}}\, dy$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(y > -1) & (y < 1), context=sqrt(1 - y**2), symbol=y)

      Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} \frac{y \sqrt{1 - y^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(y \right)}}{2} & \text{for}\: y > -1 \wedge y < 1 \end{cases}$

   1. Integramos término a término:

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dy = y$

      El resultado es: $\frac{y^{3}}{3} + y$

   El resultado es: $\frac{y^{3}}{3} + y - \begin{cases} \frac{y \sqrt{1 - y^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(y \right)}}{2} & \text{for}\: y > -1 \wedge y < 1 \end{cases}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{y^{3}}{3} - \frac{y \sqrt{1 - y^{2}}}{2} + y - \frac{\operatorname{asin}{\left(y \right)}}{2} & \text{for}\: y > -1 \wedge y < 1 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{y^{3}}{3} - \frac{y \sqrt{1 - y^{2}}}{2} + y - \frac{\operatorname{asin}{\left(y \right)}}{2} & \text{for}\: y > -1 \wedge y < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{y^{3}}{3} - \frac{y \sqrt{1 - y^{2}}}{2} + y - \frac{\operatorname{asin}{\left(y \right)}}{2} & \text{for}\: y > -1 \wedge y < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$