Integral de (5x+3)/(x+7)^(1/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x + 7}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 \left(x + 7\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(15 u \left(u^{3} - 7\right) + 9 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 15 u \left(u^{3} - 7\right)\, du = 15 \int u \left(u^{3} - 7\right)\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $u \left(u^{3} - 7\right) = u^{4} - 7 u$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 7 u\right)\, du = - 7 \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 u^{2}}{2}$

               El resultado es: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{7 u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 u^{5} - \frac{105 u^{2}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 9 u\, du = 9 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 u^{2}}{2}$

         El resultado es: $3 u^{5} - 48 u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $3 \left(x + 7\right)^{\frac{5}{3}} - 48 \left(x + 7\right)^{\frac{2}{3}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5 x + 3}{\sqrt[3]{x + 7}} = \frac{5 x}{\sqrt[3]{x + 7}} + \frac{3}{\sqrt[3]{x + 7}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 x}{\sqrt[3]{x + 7}}\, dx = 5 \int \frac{x}{\sqrt[3]{x + 7}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt[3]{x + 7}}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{3 \left(x + 7\right)^{\frac{4}{3}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- 3 \left(-7 + \frac{1}{u^{3}}\right)^{2} + 147 - \frac{21}{u^{3}}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 3 \left(-7 + \frac{1}{u^{3}}\right)^{2}\right)\, du = - 3 \int \left(-7 + \frac{1}{u^{3}}\right)^{2}\, du$

                  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                     Método #1

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(-7 + \frac{1}{u^{3}}\right)^{2} = 49 - \frac{14}{u^{3}} + \frac{1}{u^{6}}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 49\, du = 49 u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{14}{u^{3}}\right)\, du = - 14 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7}{u^{2}}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

                        El resultado es: $49 u + \frac{7}{u^{2}} - \frac{1}{5 u^{5}}$

                     Método #2

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(-7 + \frac{1}{u^{3}}\right)^{2} = \frac{49 u^{6} - 14 u^{3} + 1}{u^{6}}$

                     2. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\frac{49 u^{6} - 14 u^{3} + 1}{u^{6}} = 49 - \frac{14}{u^{3}} + \frac{1}{u^{6}}$

                     3. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 49\, du = 49 u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{14}{u^{3}}\right)\, du = - 14 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7}{u^{2}}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

                        El resultado es: $49 u + \frac{7}{u^{2}} - \frac{1}{5 u^{5}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 147 u - \frac{21}{u^{2}} + \frac{3}{5 u^{5}}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 147\, du = 147 u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{21}{u^{3}}\right)\, du = - 21 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{21}{2 u^{2}}$

               El resultado es: $- \frac{21}{2 u^{2}} + \frac{3}{5 u^{5}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 \left(x + 7\right)^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{21 \left(x + 7\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \left(x + 7\right)^{\frac{5}{3}} - \frac{105 \left(x + 7\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{\sqrt[3]{x + 7}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x + 7}}\, dx$

         1. que $u = x + 7$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 \left(x + 7\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 \left(x + 7\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$

      El resultado es: $3 \left(x + 7\right)^{\frac{5}{3}} - 48 \left(x + 7\right)^{\frac{2}{3}}$

2. Ahora simplificar:

   $3 \left(x - 9\right) \left(x + 7\right)^{\frac{2}{3}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $3 \left(x - 9\right) \left(x + 7\right)^{\frac{2}{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 \left(x - 9\right) \left(x + 7\right)^{\frac{2}{3}}+ \mathrm{constant}$