Integral de (2x+5)/(√(9x^2+6x+2)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{2 x + 5}{\sqrt{\left(9 x^{2} + 6 x\right) + 2}} = \frac{2 x}{\sqrt{\left(9 x^{2} + 6 x\right) + 2}} + \frac{5}{\sqrt{\left(9 x^{2} + 6 x\right) + 2}}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x}{\sqrt{\left(9 x^{2} + 6 x\right) + 2}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\sqrt{\left(9 x^{2} + 6 x\right) + 2}}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \frac{x}{\sqrt{9 x^{2} + 6 x + 2}}\, dx$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \int \frac{x}{\sqrt{9 x^{2} + 6 x + 2}}\, dx$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{5}{\sqrt{\left(9 x^{2} + 6 x\right) + 2}}\, dx = 5 \int \frac{1}{\sqrt{\left(9 x^{2} + 6 x\right) + 2}}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \frac{1}{\sqrt{\left(9 x^{2} + 6 x\right) + 2}}\, dx$

      Por lo tanto, el resultado es: $5 \int \frac{1}{\sqrt{\left(9 x^{2} + 6 x\right) + 2}}\, dx$

   El resultado es: $2 \int \frac{x}{\sqrt{9 x^{2} + 6 x + 2}}\, dx + 5 \int \frac{1}{\sqrt{\left(9 x^{2} + 6 x\right) + 2}}\, dx$

3. Ahora simplificar:

   $2 \int \frac{x}{\sqrt{9 x^{2} + 6 x + 2}}\, dx + 5 \int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} + 6 x + 2}}\, dx$

4. Añadimos la constante de integración:

   $2 \int \frac{x}{\sqrt{9 x^{2} + 6 x + 2}}\, dx + 5 \int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} + 6 x + 2}}\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \int \frac{x}{\sqrt{9 x^{2} + 6 x + 2}}\, dx + 5 \int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} + 6 x + 2}}\, dx+ \mathrm{constant}$