Integral de ((2x^3)+3((x)^1/2)-1)/2x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{9} + 3 u^{4} - u^{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{9}\, du = 2 \int u^{9}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{10}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{4}\, du = 3 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

         El resultado es: $\frac{u^{10}}{5} + \frac{3 u^{5}}{5} - \frac{u^{4}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{2}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{\left(3 \sqrt{x} + 2 x^{3}\right) - 1}{2} = \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{4} - \frac{x}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2}\, dx = \frac{3 \int x^{\frac{3}{2}}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{4}$

      El resultado es: $\frac{3 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{2}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$