Integral de 1/(x+y^2/x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{x + \frac{y^{2}}{x}} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x}{x^{2} + y^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}\, dx}{2}$

      1. que $u = x^{2} + y^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{x + \frac{y^{2}}{x}} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x}{x^{2} + y^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}\, dx}{2}$

      1. que $u = x^{2} + y^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$