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Resolución de integrales/ x+y^2/ 1/(x+y^2/x)

Integral de 1/(x+y^2/x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |       2   
 |      y    
 |  x + --   
 |      x    
 |           
/            
0
∫011x+y2x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x + \frac{y^{2}}{x}}\, dx 
Integral(1/(x + y^2/x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x+y2x=xx2+y2\frac{1}{x + \frac{y^{2}}{x}} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫xx2+y2 dx=∫2xx2+y2 dx2\int \frac{x}{x^{2} + y^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}\, dx}{2}

      1. que u=x2+y2u = x^{2} + y^{2}.

        Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x2+y2)\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2+y2)2\frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x+y2x=xx2+y2\frac{1}{x + \frac{y^{2}}{x}} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫xx2+y2 dx=∫2xx2+y2 dx2\int \frac{x}{x^{2} + y^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}\, dx}{2}

      1. que u=x2+y2u = x^{2} + y^{2}.

        Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x2+y2)\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2+y2)2\frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(x2+y2)2+constant\frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(x2+y2)2+constant\frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                            
 |                    / 2    2\
 |   1             log\x  + y /
 | ------ dx = C + ------------
 |      2               2      
 |     y                       
 | x + --                      
 |     x                       
 |                             
/
∫1x+y2x dx=C+log⁡(x2+y2)2\int \frac{1}{x + \frac{y^{2}}{x}}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} + y^{2} \right)}}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
   /     2\      / 2\
log\1 + y /   log\y /
----------- - -------
     2           2
−log⁡(y2)2+log⁡(y2+1)2- \frac{\log{\left(y^{2} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} 
=
= 
   /     2\      / 2\
log\1 + y /   log\y /
----------- - -------
     2           2
−log⁡(y2)2+log⁡(y2+1)2- \frac{\log{\left(y^{2} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} 
log(1 + y^2)/2 - log(y^2)/2

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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