Integral de exp(-4*x)*(3*x+2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = 3 x + 2$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 4 x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = - 4 x$.

         Luego que $du = - 4 dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{3 e^{- 4 x}}{4}\right)\, dx = - \frac{3 \int e^{- 4 x}\, dx}{4}$

      1. que $u = - 4 x$.

         Luego que $du = - 4 dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 e^{- 4 x}}{16}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 x + 2\right) e^{- 4 x} = 3 x e^{- 4 x} + 2 e^{- 4 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x e^{- 4 x}\, dx = 3 \int x e^{- 4 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 4 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = - 4 x$.

               Luego que $du = - 4 dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{e^{- 4 x}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 4 x}\, dx}{4}$

            1. que $u = - 4 x$.

               Luego que $du = - 4 dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 4 x}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x e^{- 4 x}}{4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{- 4 x}\, dx = 2 \int e^{- 4 x}\, dx$

         1. que $u = - 4 x$.

            Luego que $du = - 4 dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{- 4 x}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{3 x e^{- 4 x}}{4} - \frac{11 e^{- 4 x}}{16}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(12 x + 11\right) e^{- 4 x}}{16}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(12 x + 11\right) e^{- 4 x}}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(12 x + 11\right) e^{- 4 x}}{16}+ \mathrm{constant}$