Integral de (-16((2/x^2)+(1))^3/(x^3)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 + \frac{2}{x^{2}}$.

      Luego que $du = - \frac{4 dx}{x^{3}}$ y ponemos $4 du$:

      $\int 4 u^{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = 4 \int u^{3}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $u^{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\left(1 + \frac{2}{x^{2}}\right)^{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(-1\right) 16 \left(1 + \frac{2}{x^{2}}\right)^{3}}{x^{3}} = - \frac{16}{x^{3}} - \frac{96}{x^{5}} - \frac{192}{x^{7}} - \frac{128}{x^{9}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{16}{x^{3}}\right)\, dx = - 16 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8}{x^{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{96}{x^{5}}\right)\, dx = - 96 \int \frac{1}{x^{5}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{5}}\, dx = - \frac{1}{4 x^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{24}{x^{4}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{192}{x^{7}}\right)\, dx = - 192 \int \frac{1}{x^{7}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{7}}\, dx = - \frac{1}{6 x^{6}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32}{x^{6}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{128}{x^{9}}\right)\, dx = - 128 \int \frac{1}{x^{9}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{9}}\, dx = - \frac{1}{8 x^{8}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16}{x^{8}}$

      El resultado es: $\frac{8}{x^{2}} + \frac{24}{x^{4}} + \frac{32}{x^{6}} + \frac{16}{x^{8}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(-1\right) 16 \left(1 + \frac{2}{x^{2}}\right)^{3}}{x^{3}} = - \frac{16 x^{6} + 96 x^{4} + 192 x^{2} + 128}{x^{9}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{16 x^{6} + 96 x^{4} + 192 x^{2} + 128}{x^{9}}\right)\, dx = - \int \frac{16 x^{6} + 96 x^{4} + 192 x^{2} + 128}{x^{9}}\, dx$

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{8 u^{3} + 48 u^{2} + 96 u + 64}{u^{5}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{8 u^{3} + 48 u^{2} + 96 u + 64}{u^{5}} = \frac{8}{u^{2}} + \frac{48}{u^{3}} + \frac{96}{u^{4}} + \frac{64}{u^{5}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{8}{u^{2}}\, du = 8 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8}{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{48}{u^{3}}\, du = 48 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{24}{u^{2}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{96}{u^{4}}\, du = 96 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{32}{u^{3}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{64}{u^{5}}\, du = 64 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16}{u^{4}}$

            El resultado es: $- \frac{8}{u} - \frac{24}{u^{2}} - \frac{32}{u^{3}} - \frac{16}{u^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{8}{x^{2}} - \frac{24}{x^{4}} - \frac{32}{x^{6}} - \frac{16}{x^{8}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8}{x^{2}} + \frac{24}{x^{4}} + \frac{32}{x^{6}} + \frac{16}{x^{8}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} + 2\right)^{4}}{x^{8}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} + 2\right)^{4}}{x^{8}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} + 2\right)^{4}}{x^{8}}+ \mathrm{constant}$