Integral de √x(x²+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2} + 1$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du t}{2}$:

      $\int \frac{t u^{2}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = \frac{t \int u^{2}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3} t}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{t \left(x^{2} + 1\right)^{3}}{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $t x \left(x^{2} + 1\right)^{2} = t x^{5} + 2 t x^{3} + t x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int t x^{5}\, dx = t \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t x^{6}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 t x^{3}\, dx = 2 t \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t x^{4}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int t x\, dx = t \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t x^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{t x^{6}}{6} + \frac{t x^{4}}{2} + \frac{t x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{t \left(x^{2} + 1\right)^{3}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{t \left(x^{2} + 1\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{t \left(x^{2} + 1\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$