Integral de (x^2-1)/x(x^2+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{2} - 1}{2 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{2} - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 1}{u}\, du}{2}$

         1. que $u = u^{2}$.

            Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{u - 1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

                  El resultado es: $u - \log{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{u^{2}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4} - \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{4}}{4} - \frac{\log{\left(x^{4} \right)}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2} - 1}{x} \left(x^{2} + 1\right) = x^{3} - \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} - \log{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2} - 1}{x} \left(x^{2} + 1\right) = \frac{x^{4} - 1}{x}$

   2. que $u = x^{4}$.

      Luego que $du = 4 x^{3} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u - 1}{4 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{4}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u - \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{4} - \frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{4}}{4} - \frac{\log{\left(x^{4} \right)}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4}}{4} - \frac{\log{\left(x^{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\log{\left(x^{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$