Sr Examen

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Resolución de integrales/ 4*x+7/ (4*x+6)*sin(4*x+7)

Integral de (4*x+6)*sin(4*x+7) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                          
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 |  (4*x + 6)*sin(4*x + 7) dx
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0
∫01(4x+6)sin⁡(4x+7) dx\int\limits_{0}^{1} \left(4 x + 6\right) \sin{\left(4 x + 7 \right)}\, dx 
Integral((4*x + 6)*sin(4*x + 7), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=4xu = 4 x.

      Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos dudu:

      ∫(usin⁡(u+7)4+3sin⁡(u+7)2) du\int \left(\frac{u \sin{\left(u + 7 \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(u + 7 \right)}}{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫usin⁡(u+7)4 du=∫usin⁡(u+7) du4\int \frac{u \sin{\left(u + 7 \right)}}{4}\, du = \frac{\int u \sin{\left(u + 7 \right)}\, du}{4}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=sin⁡(u+7)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u + 7 \right)}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=u+7u = u + 7.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(u+7)- \cos{\left(u + 7 \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(u+7)) du=−∫cos⁡(u+7) du\int \left(- \cos{\left(u + 7 \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u + 7 \right)}\, du

            1. que u=u+7u = u + 7.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(u+7)\sin{\left(u + 7 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u+7)- \sin{\left(u + 7 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −ucos⁡(u+7)4+sin⁡(u+7)4- \frac{u \cos{\left(u + 7 \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(u + 7 \right)}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3sin⁡(u+7)2 du=3∫sin⁡(u+7) du2\int \frac{3 \sin{\left(u + 7 \right)}}{2}\, du = \frac{3 \int \sin{\left(u + 7 \right)}\, du}{2}

          1. que u=u+7u = u + 7.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            ∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(u+7)- \cos{\left(u + 7 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u+7)2- \frac{3 \cos{\left(u + 7 \right)}}{2}

        El resultado es: −ucos⁡(u+7)4+sin⁡(u+7)4−3cos⁡(u+7)2- \frac{u \cos{\left(u + 7 \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(u + 7 \right)}}{4} - \frac{3 \cos{\left(u + 7 \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −xcos⁡(4x+7)+sin⁡(4x+7)4−3cos⁡(4x+7)2- x \cos{\left(4 x + 7 \right)} + \frac{\sin{\left(4 x + 7 \right)}}{4} - \frac{3 \cos{\left(4 x + 7 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x+6)sin⁡(4x+7)=4xsin⁡(4x+7)+6sin⁡(4x+7)\left(4 x + 6\right) \sin{\left(4 x + 7 \right)} = 4 x \sin{\left(4 x + 7 \right)} + 6 \sin{\left(4 x + 7 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xsin⁡(4x+7) dx=4∫xsin⁡(4x+7) dx\int 4 x \sin{\left(4 x + 7 \right)}\, dx = 4 \int x \sin{\left(4 x + 7 \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(4x+7)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x + 7 \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4x+7u = 4 x + 7.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(4x+7)4- \frac{\cos{\left(4 x + 7 \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x+7)4) dx=−∫cos⁡(4x+7) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x + 7 \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x + 7 \right)}\, dx}{4}

          1. que u=4x+7u = 4 x + 7.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x+7)4\frac{\sin{\left(4 x + 7 \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x+7)16- \frac{\sin{\left(4 x + 7 \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: −xcos⁡(4x+7)+sin⁡(4x+7)4- x \cos{\left(4 x + 7 \right)} + \frac{\sin{\left(4 x + 7 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6sin⁡(4x+7) dx=6∫sin⁡(4x+7) dx\int 6 \sin{\left(4 x + 7 \right)}\, dx = 6 \int \sin{\left(4 x + 7 \right)}\, dx

        1. que u=4x+7u = 4 x + 7.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(4x+7)4- \frac{\cos{\left(4 x + 7 \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(4x+7)2- \frac{3 \cos{\left(4 x + 7 \right)}}{2}

      El resultado es: −xcos⁡(4x+7)+sin⁡(4x+7)4−3cos⁡(4x+7)2- x \cos{\left(4 x + 7 \right)} + \frac{\sin{\left(4 x + 7 \right)}}{4} - \frac{3 \cos{\left(4 x + 7 \right)}}{2}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=4x+6u{\left(x \right)} = 4 x + 6 y que dv⁡(x)=sin⁡(4x+7)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x + 7 \right)}.

      Entonces du⁡(x)=4\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=4x+7u = 4 x + 7.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(4x+7)4- \frac{\cos{\left(4 x + 7 \right)}}{4}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡(4x+7)) dx=−∫cos⁡(4x+7) dx\int \left(- \cos{\left(4 x + 7 \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(4 x + 7 \right)}\, dx

      1. que u=4x+7u = 4 x + 7.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(4x+7)4\frac{\sin{\left(4 x + 7 \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x+7)4- \frac{\sin{\left(4 x + 7 \right)}}{4}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x+6)sin⁡(4x+7)=4xsin⁡(4x+7)+6sin⁡(4x+7)\left(4 x + 6\right) \sin{\left(4 x + 7 \right)} = 4 x \sin{\left(4 x + 7 \right)} + 6 \sin{\left(4 x + 7 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xsin⁡(4x+7) dx=4∫xsin⁡(4x+7) dx\int 4 x \sin{\left(4 x + 7 \right)}\, dx = 4 \int x \sin{\left(4 x + 7 \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(4x+7)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x + 7 \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4x+7u = 4 x + 7.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(4x+7)4- \frac{\cos{\left(4 x + 7 \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x+7)4) dx=−∫cos⁡(4x+7) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x + 7 \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x + 7 \right)}\, dx}{4}

          1. que u=4x+7u = 4 x + 7.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x+7)4\frac{\sin{\left(4 x + 7 \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x+7)16- \frac{\sin{\left(4 x + 7 \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: −xcos⁡(4x+7)+sin⁡(4x+7)4- x \cos{\left(4 x + 7 \right)} + \frac{\sin{\left(4 x + 7 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6sin⁡(4x+7) dx=6∫sin⁡(4x+7) dx\int 6 \sin{\left(4 x + 7 \right)}\, dx = 6 \int \sin{\left(4 x + 7 \right)}\, dx

        1. que u=4x+7u = 4 x + 7.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(4x+7)4- \frac{\cos{\left(4 x + 7 \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(4x+7)2- \frac{3 \cos{\left(4 x + 7 \right)}}{2}

      El resultado es: −xcos⁡(4x+7)+sin⁡(4x+7)4−3cos⁡(4x+7)2- x \cos{\left(4 x + 7 \right)} + \frac{\sin{\left(4 x + 7 \right)}}{4} - \frac{3 \cos{\left(4 x + 7 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −xcos⁡(4x+7)+sin⁡(4x+7)4−3cos⁡(4x+7)2+constant- x \cos{\left(4 x + 7 \right)} + \frac{\sin{\left(4 x + 7 \right)}}{4} - \frac{3 \cos{\left(4 x + 7 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xcos⁡(4x+7)+sin⁡(4x+7)4−3cos⁡(4x+7)2+constant- x \cos{\left(4 x + 7 \right)} + \frac{\sin{\left(4 x + 7 \right)}}{4} - \frac{3 \cos{\left(4 x + 7 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                              
 |                                 3*cos(7 + 4*x)   sin(7 + 4*x)                 
 | (4*x + 6)*sin(4*x + 7) dx = C - -------------- + ------------ - x*cos(7 + 4*x)
 |                                       2               4                       
/
∫(4x+6)sin⁡(4x+7) dx=C−xcos⁡(4x+7)+sin⁡(4x+7)4−3cos⁡(4x+7)2\int \left(4 x + 6\right) \sin{\left(4 x + 7 \right)}\, dx = C - x \cos{\left(4 x + 7 \right)} + \frac{\sin{\left(4 x + 7 \right)}}{4} - \frac{3 \cos{\left(4 x + 7 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  5*cos(11)   sin(7)   sin(11)   3*cos(7)
- --------- - ------ + ------- + --------
      2         4         4         2
sin⁡(11)4−sin⁡(7)4−5cos⁡(11)2+3cos⁡(7)2\frac{\sin{\left(11 \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(7 \right)}}{4} - \frac{5 \cos{\left(11 \right)}}{2} + \frac{3 \cos{\left(7 \right)}}{2} 
=
= 
  5*cos(11)   sin(7)   sin(11)   3*cos(7)
- --------- - ------ + ------- + --------
      2         4         4         2
sin⁡(11)4−sin⁡(7)4−5cos⁡(11)2+3cos⁡(7)2\frac{\sin{\left(11 \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(7 \right)}}{4} - \frac{5 \cos{\left(11 \right)}}{2} + \frac{3 \cos{\left(7 \right)}}{2} 
-5*cos(11)/2 - sin(7)/4 + sin(11)/4 + 3*cos(7)/2
Respuesta numérica [src] 
0.705544935227457
0.705544935227457

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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