Integral de 32xdx/(x²+1)⁵ dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{32 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{5}} = \frac{32 x}{x^{10} + 5 x^{8} + 10 x^{6} + 10 x^{4} + 5 x^{2} + 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{32 x}{x^{10} + 5 x^{8} + 10 x^{6} + 10 x^{4} + 5 x^{2} + 1}\, dx = 32 \int \frac{x}{x^{10} + 5 x^{8} + 10 x^{6} + 10 x^{4} + 5 x^{2} + 1}\, dx$

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{2 u^{5} + 10 u^{4} + 20 u^{3} + 20 u^{2} + 10 u + 2}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{2 u^{5} + 10 u^{4} + 20 u^{3} + 20 u^{2} + 10 u + 2} = \frac{1}{2 \left(u + 1\right)^{5}}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{2 \left(u + 1\right)^{5}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 1\right)^{5}}\, du}{2}$

            1. que $u = u + 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{1}{4 \left(u + 1\right)^{4}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{8 \left(u + 1\right)^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{8 \left(x^{2} + 1\right)^{4}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{\left(x^{2} + 1\right)^{4}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{32 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{5}} = \frac{32 x}{x^{10} + 5 x^{8} + 10 x^{6} + 10 x^{4} + 5 x^{2} + 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{32 x}{x^{10} + 5 x^{8} + 10 x^{6} + 10 x^{4} + 5 x^{2} + 1}\, dx = 32 \int \frac{x}{x^{10} + 5 x^{8} + 10 x^{6} + 10 x^{4} + 5 x^{2} + 1}\, dx$

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{2 u^{5} + 10 u^{4} + 20 u^{3} + 20 u^{2} + 10 u + 2}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{2 u^{5} + 10 u^{4} + 20 u^{3} + 20 u^{2} + 10 u + 2} = \frac{1}{2 \left(u + 1\right)^{5}}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{2 \left(u + 1\right)^{5}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 1\right)^{5}}\, du}{2}$

            1. que $u = u + 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{1}{4 \left(u + 1\right)^{4}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{8 \left(u + 1\right)^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{8 \left(x^{2} + 1\right)^{4}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{\left(x^{2} + 1\right)^{4}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{4}{\left(x^{2} + 1\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{4}{\left(x^{2} + 1\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$