Integral de (4-x)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(4 - x\right)^{4}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 - x\right)^{3} = - x^{3} + 12 x^{2} - 48 x + 64$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12 x^{2}\, dx = 12 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 48 x\right)\, dx = - 48 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 24 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 64\, dx = 64 x$

      El resultado es: $- \frac{x^{4}}{4} + 4 x^{3} - 24 x^{2} + 64 x$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(x - 4\right)^{4}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(x - 4\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(x - 4\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$