Integral de (4+3x^2)^6x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x^{2} + 4$.

      Luego que $du = 6 x dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

      $\int \frac{u^{6}}{6}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{6}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{6}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{42}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x^{2} + 4\right)^{7}}{42}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(3 x^{2} + 4\right)^{6} = 729 x^{13} + 5832 x^{11} + 19440 x^{9} + 34560 x^{7} + 34560 x^{5} + 18432 x^{3} + 4096 x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 729 x^{13}\, dx = 729 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{729 x^{14}}{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5832 x^{11}\, dx = 5832 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $486 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 19440 x^{9}\, dx = 19440 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1944 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 34560 x^{7}\, dx = 34560 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4320 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 34560 x^{5}\, dx = 34560 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5760 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 18432 x^{3}\, dx = 18432 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4608 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4096 x\, dx = 4096 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2048 x^{2}$

      El resultado es: $\frac{729 x^{14}}{14} + 486 x^{12} + 1944 x^{10} + 4320 x^{8} + 5760 x^{6} + 4608 x^{4} + 2048 x^{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 x^{2} + 4\right)^{7}}{42}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x^{2} + 4\right)^{7}}{42}+ \mathrm{constant}$