Integral de (x^4+3x-2+4sqrt(x))/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u^{8} + 6 u^{2} + 8 u - 4}{u}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 u^{8} + 6 u^{2} + 8 u - 4}{u} = 2 u^{7} + 6 u + 8 - \frac{4}{u}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{7}\, du = 2 \int u^{7}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{8}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u\, du = 6 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 u^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 8\, du = 8 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{4}{u}\right)\, du = - 4 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \log{\left(u \right)}$

         El resultado es: $\frac{u^{8}}{4} + 3 u^{2} + 8 u - 4 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $8 \sqrt{x} + \frac{x^{4}}{4} + 3 x - 4 \log{\left(\sqrt{x} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 \sqrt{x} + \left(\left(x^{4} + 3 x\right) - 2\right)}{x} = x^{3} + 3 - \frac{2}{x} + \frac{4}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 3\, dx = 3 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{x}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4}{\sqrt{x}}\, dx = 4 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8 \sqrt{x}$

      El resultado es: $8 \sqrt{x} + \frac{x^{4}}{4} + 3 x - 2 \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $8 \sqrt{x} + \frac{x^{4}}{4} + 3 x - 2 \log{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $8 \sqrt{x} + \frac{x^{4}}{4} + 3 x - 2 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$8 \sqrt{x} + \frac{x^{4}}{4} + 3 x - 2 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$