Integral de x^(-1/3)*lnx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ y ponemos $- 3 du$:

      $\int \left(- \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u^{3}} \right)}}{u^{3}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{3}} \right)}}{u^{3}}\, du = - 3 \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u^{3}} \right)}}{u^{3}}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \log{\left(\frac{1}{u^{3}} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{3}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{3}{u}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3}{2 u^{3}}\, du = \frac{3 \int \frac{1}{u^{3}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{4 u^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(\frac{1}{u^{3}} \right)}}{2 u^{2}} - \frac{9}{4 u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{9 x^{\frac{2}{3}}}{4}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3}{2 \sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx}{2}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{\frac{2}{3}}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{4}+ \mathrm{constant}$