Integral de 0.5*(1+(x/2)^2)^(-3/2)*x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(\frac{x}{2}\right)^{2} + 1$.

      Luego que $du = \frac{x dx}{2}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \frac{2}{\sqrt{u}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2}{\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^{2} + 1}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{1}{2 \left(\left(\frac{x}{2}\right)^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{4 x}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 4} + 4 \sqrt{x^{2} + 4}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{4 x}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 4} + 4 \sqrt{x^{2} + 4}}\, dx = 4 \int \frac{x}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 4} + 4 \sqrt{x^{2} + 4}}\, dx$

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{2 u \sqrt{u + 4} + 8 \sqrt{u + 4}}\, du$

         1. que $u = \sqrt{u + 4}$.

            Luego que $du = \frac{du}{2 \sqrt{u + 4}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{\sqrt{u + 4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{1}{2 \left(\left(\frac{x}{2}\right)^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{2 \left(\frac{x^{2} \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + 1}}{4} + \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + 1}\right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x}{2 \left(\frac{x^{2} \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + 1}}{4} + \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + 1}\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x}{\frac{x^{2} \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + 1}}{4} + \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + 1}}\, dx}{2}$

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $4 du$:

         $\int \frac{4}{u \sqrt{u + 4} + 4 \sqrt{u + 4}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u \sqrt{u + 4} + 4 \sqrt{u + 4}}\, du = 4 \int \frac{1}{u \sqrt{u + 4} + 4 \sqrt{u + 4}}\, du$

            1. que $u = \sqrt{u + 4}$.

               Luego que $du = \frac{du}{2 \sqrt{u + 4}}$ y ponemos $2 du$:

               $\int \frac{2}{u^{2}}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{2}{\sqrt{u + 4}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8}{\sqrt{u + 4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{8}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 4}}+ \mathrm{constant}$