Sr Examen

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Resolución de integrales/ (x+1)/ (x-5)/ (-5)/(((x+1)^2)(x-5))

Integral de (-5)/(((x+1)^2)(x-5)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |        -5           
 |  ---------------- dx
 |         2           
 |  (x + 1) *(x - 5)   
 |                     
/                      
0
∫01(−5(x−5)(x+1)2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(- \frac{5}{\left(x - 5\right) \left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx 
Integral(-5*1/((x + 1)^2*(x - 5)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−5(x−5)(x+1)2) dx=−5∫1(x−5)(x+1)2 dx\int \left(- \frac{5}{\left(x - 5\right) \left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx = - 5 \int \frac{1}{\left(x - 5\right) \left(x + 1\right)^{2}}\, dx

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1(x−5)(x+1)2=−136(x+1)−16(x+1)2+136(x−5)\frac{1}{\left(x - 5\right) \left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{1}{36 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{6 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{36 \left(x - 5\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−136(x+1)) dx=−∫1x+1 dx36\int \left(- \frac{1}{36 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{36}

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)36- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{36}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−16(x+1)2) dx=−∫1(x+1)2 dx6\int \left(- \frac{1}{6 \left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx}{6}

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −1x+1- \frac{1}{x + 1}

          Por lo tanto, el resultado es: 16(x+1)\frac{1}{6 \left(x + 1\right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫136(x−5) dx=∫1x−5 dx36\int \frac{1}{36 \left(x - 5\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 5}\, dx}{36}

          1. que u=x−5u = x - 5.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−5)\log{\left(x - 5 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−5)36\frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{36}

        El resultado es: log⁡(x−5)36−log⁡(x+1)36+16(x+1)\frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{36} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{36} + \frac{1}{6 \left(x + 1\right)}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1(x−5)(x+1)2=1x3−3x2−9x−5\frac{1}{\left(x - 5\right) \left(x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        1x3−3x2−9x−5=−136(x+1)−16(x+1)2+136(x−5)\frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5} = - \frac{1}{36 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{6 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{36 \left(x - 5\right)}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−136(x+1)) dx=−∫1x+1 dx36\int \left(- \frac{1}{36 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{36}

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)36- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{36}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−16(x+1)2) dx=−∫1(x+1)2 dx6\int \left(- \frac{1}{6 \left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx}{6}

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −1x+1- \frac{1}{x + 1}

          Por lo tanto, el resultado es: 16(x+1)\frac{1}{6 \left(x + 1\right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫136(x−5) dx=∫1x−5 dx36\int \frac{1}{36 \left(x - 5\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 5}\, dx}{36}

          1. que u=x−5u = x - 5.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−5)\log{\left(x - 5 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−5)36\frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{36}

        El resultado es: log⁡(x−5)36−log⁡(x+1)36+16(x+1)\frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{36} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{36} + \frac{1}{6 \left(x + 1\right)}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1(x−5)(x+1)2=1x3−3x2−9x−5\frac{1}{\left(x - 5\right) \left(x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        1x3−3x2−9x−5=−136(x+1)−16(x+1)2+136(x−5)\frac{1}{x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5} = - \frac{1}{36 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{6 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{36 \left(x - 5\right)}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−136(x+1)) dx=−∫1x+1 dx36\int \left(- \frac{1}{36 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{36}

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)36- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{36}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−16(x+1)2) dx=−∫1(x+1)2 dx6\int \left(- \frac{1}{6 \left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx}{6}

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −1x+1- \frac{1}{x + 1}

          Por lo tanto, el resultado es: 16(x+1)\frac{1}{6 \left(x + 1\right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫136(x−5) dx=∫1x−5 dx36\int \frac{1}{36 \left(x - 5\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 5}\, dx}{36}

          1. que u=x−5u = x - 5.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−5)\log{\left(x - 5 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−5)36\frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{36}

        El resultado es: log⁡(x−5)36−log⁡(x+1)36+16(x+1)\frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{36} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{36} + \frac{1}{6 \left(x + 1\right)}

    Por lo tanto, el resultado es: −5log⁡(x−5)36+5log⁡(x+1)36−56(x+1)- \frac{5 \log{\left(x - 5 \right)}}{36} + \frac{5 \log{\left(x + 1 \right)}}{36} - \frac{5}{6 \left(x + 1\right)}

  2. Ahora simplificar:

    5((x+1)(−log⁡(x−5)+log⁡(x+1))−6)36(x+1)\frac{5 \left(\left(x + 1\right) \left(- \log{\left(x - 5 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}\right) - 6\right)}{36 \left(x + 1\right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    5((x+1)(−log⁡(x−5)+log⁡(x+1))−6)36(x+1)+constant\frac{5 \left(\left(x + 1\right) \left(- \log{\left(x - 5 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}\right) - 6\right)}{36 \left(x + 1\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

5((x+1)(−log⁡(x−5)+log⁡(x+1))−6)36(x+1)+constant\frac{5 \left(\left(x + 1\right) \left(- \log{\left(x - 5 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}\right) - 6\right)}{36 \left(x + 1\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                  
 |                                                                   
 |       -5                      5       5*log(-5 + x)   5*log(1 + x)
 | ---------------- dx = C - --------- - ------------- + ------------
 |        2                  6*(1 + x)         36             36     
 | (x + 1) *(x - 5)                                                  
 |                                                                   
/
∫(−5(x−5)(x+1)2) dx=C−5log⁡(x−5)36+5log⁡(x+1)36−56(x+1)\int \left(- \frac{5}{\left(x - 5\right) \left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx = C - \frac{5 \log{\left(x - 5 \right)}}{36} + \frac{5 \log{\left(x + 1 \right)}}{36} - \frac{5}{6 \left(x + 1\right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.02.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
5    5*log(4)   5*log(2)   5*log(5)
-- - -------- + -------- + --------
12      36         36         36
−5log⁡(4)36+5log⁡(2)36+5log⁡(5)36+512- \frac{5 \log{\left(4 \right)}}{36} + \frac{5 \log{\left(2 \right)}}{36} + \frac{5 \log{\left(5 \right)}}{36} + \frac{5}{12} 
=
= 
5    5*log(4)   5*log(2)   5*log(5)
-- - -------- + -------- + --------
12      36         36         36
−5log⁡(4)36+5log⁡(2)36+5log⁡(5)36+512- \frac{5 \log{\left(4 \right)}}{36} + \frac{5 \log{\left(2 \right)}}{36} + \frac{5 \log{\left(5 \right)}}{36} + \frac{5}{12} 
5/12 - 5*log(4)/36 + 5*log(2)/36 + 5*log(5)/36
Respuesta numérica [src] 
0.543929268315855
0.543929268315855

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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