Integral de 2^ln2x/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(2 x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int 2^{u}\, du$

      1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

         $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2^{\log{\left(2 x \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2^{\log{\left(2 x \right)}}}{x} = \frac{2^{\log{\left(2 \right)}} 2^{\log{\left(x \right)}}}{x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2^{\log{\left(2 \right)}} 2^{\log{\left(x \right)}}}{x}\, dx = 2^{\log{\left(2 \right)}} \int \frac{2^{\log{\left(x \right)}}}{x}\, dx$

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int 2^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2^{\log{\left(x \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{\log{\left(2 \right)}} 2^{\log{\left(x \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2^{\log{\left(2 x \right)}}}{x} = \frac{2^{\log{\left(2 \right)}} 2^{\log{\left(x \right)}}}{x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2^{\log{\left(2 \right)}} 2^{\log{\left(x \right)}}}{x}\, dx = 2^{\log{\left(2 \right)}} \int \frac{2^{\log{\left(x \right)}}}{x}\, dx$

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int 2^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2^{\log{\left(x \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{\log{\left(2 \right)}} 2^{\log{\left(x \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2^{\log{\left(2 x \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2^{\log{\left(2 x \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$